第26章有理数26.2实际问题与反比例函数（简答题专练）-2020-2021学年九年级下册数学把关题分类专练（人教版）【学科网名师堂】

第26章有理数26.2实际问题与反比例函数（简答题专练） 1．如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点在轴的上方，且满足. (1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标; (2)连接，求的最小值; (3)若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标. 【答案】（1）点P的坐标为(6,2)；（2）；（3）Q (4−,5)，Q (4+,5)，Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 【分析】(1)首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m(m>0)，根据，构建方程即可解决问题； (2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴,由(1)知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4，连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小； (3)分两种情形分别求解即可解决问题； 【详解】(1)∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3， ∴点B的坐标为(4,3)， ∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上 ∴k=12， ∴y=， 设点P的纵坐标为m(m>0)， ∵． ∴⋅OA⋅m=OA⋅OC⋅， ∴m=2， 当点，P在这个反比例函数图象上时，则2= ， ∴x=6 ∴点P的坐标为(6,2)． (2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴． 由(1)知，点P的纵坐标为2， ∴点P在直线l上 作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4， 连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小， 则PO+PA的最小值=PO'+PA=O'A=． (3) ①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB=AP=PQ=BQ=3，P (4−,2)，P (4,2)， ∴Q (4−,5)，Q (4+,5)． ②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P (4−2,2)，P(4+2,2)， ∴Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 综上所述，点Q的坐标为Q (4−,5)，Q (4+,5)，Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，菱形的性质，矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论. 2．已知反比例函数的图象经过点． （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值． 【答案】（1）;（2）点在反比例函数的图象上;（3）8. 【分析】(1)由于反比例函数的图象经过点,运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式; (2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度, ∠AOC的大小, 然后根据旋转的性质得出∠AOB=30,OB=OA,再求出点B的坐标, 进而判断点B是否在此反比例函数的图象上; (3)把点代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由△OQM的面积是,根据三角形的面积公式及m<0,得出mn的值,最后将所求的代数式变形,把mn的值代入,即可求出的值. 【详解】解：（1）由题意得，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）过点A作X轴的垂线交X轴于点C． 在RT△ACO中，OC=，AC=1， ∴，∠AOC=30， ∵将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB， ∴∠AOB=30，OA=OB=2， ∴∠BOC=60． 过点B作X轴的垂线交X轴于点D． 在RT△BOD中，BD=OBsin∠BOD=，， ∴B点坐标为(-1,)， 将x=-1代入中，得y=， ∴点B(-1,)在反比例函数的图象上． （3）由得， ∵点在反比例函数的图象上，其中m＜0， ∴=， 得， ∵PQ⊥X轴，∴Q点的坐标为(m，n)． ∵△OQM的面积是， ∴， ∵m＜0，∴mn=-1，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义与性质、待定系数法球反比例函数解析式及反比例函数与图形的面积计算、旋转的性质应用，综合性大，需综合运用所学知识求解. 3．如图，反比例函数的图象经过点 （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，根据图象请直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】(1)首先设反比例函数解析式为y=,把点(-1,3)代入反比例函数解析式,进而可以算出k的值,进而得到解析式; (2)根据反比例函数图象可直接得到答案. 【详解】（1）设反比例函数解析式为，把点代入得：， ∴函数解析式为；（2）或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,以及利用函数图象求自变量的值,关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点