第二章 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学习目标　1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系． 知识点一　一元二次方程的有关概念 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0. 其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 知识点二　Δ＝b2－4ac的取值与根的个数间的关系 Δ＝b2－4ac 根的情况 b2－4ac>0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根， 即x1＝，x2＝ b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－ b2－4ac<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根 知识点三　一元二次方程的解法 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝求解 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n 知识点四　一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 1．方程ax2＋bx＋x＝0是一元二次方程．(　×　) 2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0.(　√　) 3．一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．(　√　) 4．方程x2－2x－1＝0的解集为{－1,1}．(　×　) 一、配方法求方程的解集 例1　用配方法求下列一元二次方程的解集： (1)x2＋4x－1＝0； (2)4x2＋8x＋1＝0. 解　 (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1， ∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5， ∴x＝－2±∴x1＝－2＋，x2＝－2－. ∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}． (2)移项，得4x2＋8x＝－1. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝－， 配方，得x2＋2x＋12＝12－， 即(x＋1)2＝. ∴x＋1＝±. ∴x1＝－1＋，x2＝－1－， ∴原一元二次方程的解集是. 反思感悟　用配方法解一元二次方程的步骤 (1)移项：把常数项移到方程的右边． (2)二次项系数化为1，即方程两边都除以二次项系数． (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式． (4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程． (5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 跟踪训练1　用配方法解方程2x2－5＋x＝0. 解　移项，得2x2＋x＝5. 二次项系数化为1，得x2＋x＝. 配方，得x2＋x＋2＝＋2. ∴2＝. ∴x＋＝±. ∴x1＝，x2＝， ∴原一元二次方程的解集是. 二、一元二次方程判别式的应用 例2　已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围． (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根． 解　Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k)>0， 所以k<. (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0， 所以k＝. 反思感悟　一元二次方程的解的情况分为“无实数根”、“有两个相等的实数根”、“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系． 跟踪训练2　试证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根． 证明　∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0， ∴不论m为何值时，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根． 三、一元二次方程根与系数的关系 例3　已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值： (1)x＋x； (2)|x1－x2|(x1＋x2)． 解　由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝－2，x1x2＝－3. (1)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x) ＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2] ＝(－2)[(－2)2－3×(－3)]＝－26. (2)因为