第二章 2.1.3 方程组的解集（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

2.1.3　方程组的解集 学习目标　1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题． 知识点　方程组的解集 1．概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法． 3．方程组的解集 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 1．下列方程：①7x－3y＝5；②x2－2y＝1；③＋3y＝8；④x＋y＝z；⑤2xy＋3＝0；⑥＋＝1.其中是二元一次方程的为________． 答案　①⑥ 2．方程组的解集为________． 答案　{(3，－1)} 3．方程组的解集为________． 答案　{(4.5,3.5,8)} 解析　 ①＋②＋③得x＋y＋z＝16，④ ④－①，得z＝8； ④－②，得x＝4.5； ④－③，得y＝3.5. 所以原方程组的解集为{(4.5,3.5,8)}． 4．方程组的解集是________． 答案　{(－1,0)，(4,5)} 一、一次方程组的解集 例1　求下列方程组的解集： (1) (2) 解　(1)已知 由①得x＝2y＋1，③ 把③代入②，得2y＋1＋3y＝6， 解得y＝1.把y＝1代入③得x＝3， 所以原方程组的解为 所以原方程组的解集为{(3,1)}． (2)已知方程组 ①＋②，得5x－z＝14. ①＋③，得4x＋3z＝15. 解方程组 得 把x＝3，z＝1代入③，得y＝8. 所以原方程组的解集为{(3,8,1)}． 反思感悟　(1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法． (2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数． 跟踪训练1　求方程组的解集． 解　已知方程组 ①－②×2，得5y－3z＝8，④ ③－②，得3y－3z＝6，⑤ 由④⑤组成二元一次方程组 解这个二元一次方程组，得 把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2， 所以原方程组的解集为{(2,1，－1)}． 二、二元二次方程组的解集 命题角度1　“二·一”型的二元二次方程组 例2　解方程组 解　已知方程组 方法一　由②得x＝2y＋5，　　　　　　　　　　　 ③ 将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4. 整理，得3y2＋10y＋7＝0. 解得y1＝－，y2＝－1. 把y1＝－代入③，得x1＝， 把y2＝－1代入③，得x2＝3. 所以原方程组的解是或 所以原方程组的解集为. 方法二　由①得(x＋y)2＝4， 即x＋y＝2或x＋y＝－2. 原方程组转化为或 解得或 所以原方程组的解集为. 反思感悟　这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”．如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解(如本例方法二)． 跟踪训练2　解方程组 解　已知 由方程②，得y＝1－x，③ 把方程③代入方程①，得x2＋(1－x)2＝1. 整理，得x2－x＝0. 解得x1＝0，x2＝1. 把x1＝0代入方程③，得y1＝1； 把x2＝1代入方程③，得y2＝0. 原方程组的解是或 即其解集为{(0,1)，(1,0)}． 命题角度2　“二·二”型的二元二次方程组 例3　求方程组的解集． 解　　已知方程组 由①得x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0， ∴x＋y＝0或x－y－5＝0， ∴ 原方程组可化为两个方程组 或 解这两个方程组， 得原方程组的解集是{(－1，－6)，(6,1)，(，－)，(－，)}． 反思感悟　解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组． (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组． 跟踪训练3　解方程组 解　方程组可化为 即为或 或或 解得或或或 所以原方程组的解集为. 三、一次方程组的应用 例4　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 解　设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表： 甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品 其中所含蛋白质 0.5x单