第二章 2.2.1 第1课时 不等式及其性质（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

§2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 第1课时　不等式及其性质 学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一　不等关系 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示： 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 至多 ≤ 小于 < 至少 ≥ 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于等于 ≥ 不少于 ≥ 小于等于 ≤ 不多于 ≤ 其中a≥b⇔a＞b或a＝b，a≤b⇔a＜b或a＝b. 知识点二　比较两个实数(代数式)大小 作差法的理论依据： a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0. 知识点三　不等式的基本性质及推论 1．不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 性质2 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc 性质3 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒a>c 性质5 对称性 a>b⇔b<a 2.不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 a＋b＞c⇔a＞c－b 推论2 同向不等式相加 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 推论3 同向不等式相乘 a＞b＞0, c＞d＞0⇒ac＞bd 推论4 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1) 推论5 可开方性 a＞b＞0⇒> 1．实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.(　×　) 2．不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　√　) 3．两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　) 4．a>b，c>d的充要条件是a＋c>b＋d.(　×　) 一、作差法比较大小 例1　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 延伸探究 1．若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？ 解　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2) ＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)． ∵a>0，b>0， ∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解　若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr. 反思感悟　作差法比较大小的四个步骤 跟踪训练1　若x∈R，则与的大小关系为________________． 答案　≤ 解析　∵－＝＝≤0. ∴≤. 二、利用不等式的性质判断或证明 例2　(1)已知b<2a,3d<c，则下列不等式一定成立的是(　　) A．2a－c>b－3d B．2ac>3bd C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c 答案　C 解析　 由于b<2a,3d<c， 则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故选C. (2)若c>a>b>0，求证：>. 证明　a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为c>a，所以c－a>0， 所以0<c－a<c－b. 上式两边同乘， 得>>0. 又因为a>b>0， 所以>. 反思感悟　利用不等式的性质解决问题的注意点 (1)在解决选择题时，可利用特殊值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算． (2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导． 跟踪训练2　(多选)下列命题正确的是(　　) A.<且c>0⇒a>b B．a>b且c>d⇒ac>bd C．a>b>0且c>d>0⇒ > D.>⇒a>b 答案　CD 解析　A中，⇒<； 当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，错误； B中，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，错误； C中，⇒>>0⇒>成立，正确； D中，显然c2>0， ∴两边同乘以c2得a>b，正确． 利用不等式的性质求取值范围 典例　已知－1<x<4,2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 解　(1)因为－1<x<4,2<y<3， 所以－3<－y<－2