第二章 2.2.1 第2课时 不等式的证明方法（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

第2课时　不等式的证明方法 学习目标　1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点．掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题． 知识点一　综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． 知识点二　分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 知识点三　反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 1．综合法是从结论向已知的逆推证法．(　×　) 2．综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程．(　√　) 3．用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”．(　√　) 4．用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　×　) 一、综合法的应用 例1　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以， 得＜. 又e＜0，∴＞. 延伸探究 本例条件不变的情况下，求证：＞. 证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. ∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜. 又∵e＜0，∴＞. 反思感悟　综合法处理问题的三个步骤 跟踪训练1　(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc； (2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤. 证明　(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc， ∵bd>0， ∴≤，∴＋1≤＋1， ∴≤. 二、分析法的应用 例2　已知a＞0，证明：－≥a＋－2. 证明　要证－≥a＋－2， 只需证≥－(2－)． 因为a＞0，所以－(2－)＝＋＞0， 所以只需证2≥2， 即2(2－)≥8－4， 只需证a＋≥2. 因为a＞0，所以a＋－2＝＝≥0， 所以a＋≥2显然成立(当a＝1时等号成立)， 所以要证的不等式成立． 反思感悟　(1)分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式． (2)分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误． 跟踪训练2　若a，b∈(1，＋∞)，证明：＜. 证明　要证＜， 只需证()2＜()2， 只需证a＋b－1－ab＜0， 即证(a－1)(1－b)＜0. 因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0， 即(a－1)(1－b)＜0成立， 所以原不等式成立． 三、反证法的应用 例3　已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1. 证明　假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1， 则有a＋b＋c＜3， 而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3≥3. 这与a＋b＋c＜3矛盾，假设不成立， 故a，b，c至少有一个不小于1. 反思感悟　反证法证明问题的一般步骤 跟踪训练3　若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2. 证明　假设与都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y， 两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)． ∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． 故与至少有一个小于2. 1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是(　　) A．自然数a，b，c中至少有两个偶数 B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 答案　B 解析　“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B. 2．求证：－1>－. 证明：要证－1>－， 只需证＋>＋1， 即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>， ∵35>11， ∴原不等式成立． 以上证明应用了(　　) A．分析法 B．综合法 C．分析法与综合法配合使用 D．反证法 答案　A 解析　该证明方法符合分析法的定义，故选A. 3．(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用(　　) A．结论的反设 B．已知