1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（PPT）-2020-2021学年上学期高二数学同步精品课堂（新教材人教A版选择性必修第一册）

1.4 空间向量的应用 数学（人教版） 选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 素养目标 学科素养 　　1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角；(重点、难点) 2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系；(难点) 3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．(重点) 1.逻辑推理； 2.数学运算 第一阶段 课前自学质疑 情境导学 感知新课 情境导学 　　立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等．如何用空间向量解决这些距离问题呢？与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量，如何用空间向量解决直线与直线所成角、直线与平面所成角以及平面与平面的夹角呢？ (a·u)2 必备知识 深化预习 1.用空间向量解决距离问题 (1)直线外一点到直线距离 设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ＝＝. (2)点到平面的距离 如图所示，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此 PQ＝|·|＝||＝___________． 2．空间角的向量求法 角 向量求法 与相应向量 夹角的关系 范围 异面直 线所成 的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝______________＝ 与〈u，v〉相 等或互补 |cos〈u，v〉| 角 向量求法 与相应向量 夹角的关系 范围 直线与 平面所 成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝______________＝ |〈u，n〉－| |cos〈u，n〉| 角 向量求法 与相应向量 夹角的关系 范围 平面与 平面的 夹角 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则|cos θ|＝____________＝ 与〈n1，n2〉 相等或互补 |cos〈n1，n2〉| 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补．