专题06 帮你解决与三角函数有关的最值问题-2020-2021学年高中数学之三角函数解题技法全指导

帮你解决与三角函数有关的最值（值域）问题 最值问题是三角中考查频率最高的重点内容之一，是对三角函数概念、图像、性质以及对诱导公式、同角三角函数关系、三角恒等变换公式等内容的综合考查，也是函数内容的交汇点，常见有下面几种解题方法。 一、转化为函数的最值问题 这种题型一般分两步，第一步，先用和差角公式、二倍角公式到降幂公式、诱导公式等，将函数解析式化为的形式，第二步，再求的最值，一般作法是由自变量x的范围，求出的范围，再根据正弦（或余弦）曲线求出（或）的范围，再由一次函数单调性求出函数值y的范围。 例1.求函数在区间上的最小值。 分析：本题为与三角函数有关的最值问题，根据题目特点，可转化为函数的最值问题 解： 。，由正弦曲线知，， 。 点评：本题用了正、余弦函数的有界性，注意当自变量有范围时，正、余弦函数的范围不一定是。 变式．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间[0，]上的最小值为－4，那么α的值等于(　　) A．4 B．－6 C．－4 D．－3 答案：. C 解析：f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋a＋1. 当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，，∴f(x)min＝2·(－)＋a＋1＝－4.∴a＝－4. 二、转化为关于或的二次函数的最值问题 除了第一种类型，还有一部分需要转化为关于或的二次函数的最值问题。常用到同角函数关系式中的平方关系、二倍角公式等。 例2.已知，求函数的最小值。 分析：根据函数解析式的特点，可转化为关于或的二次函数的最值问题。 解：。， ，。 点评：本解法一开始用了同角函数关系式中的平方关系，将题目转化为关于或的二次函数的最值问题。 变式.函数的最大值等于 答案. 解析：。 三、换元法解与三角函数有关的最值问题 当解析式中既有，又有时，可考虑用换元法处理，把三角问题转化为一般的代数问题来解决。 例3.求函数的最值。 分析：根据题目中函数解析式的特点，可考虑用换元法来解决。 解：。令， 则，，且有， 故。由知，当时，； 当时，。 点评：本题利用换元法，最后转化成了二次函数的最值问题。 变式求函数；的值域 解： 设 又，，，又，则= 当时，当时， 小试牛刀 1．函数y＝－cos2x＋cosx＋，则(　　) A．最大值是1，最小值是 B．最大值是1，最小值是－ C．最大值是2，最小值是－ D．最大值是2，最小值是 1.C y＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋2， ∴当cosx＝时，ymax＝2，当cosx＝－1时，ymin＝－. 2．函数y＝sin2x＋sin2x的值域是(　　) A． B． C． D． 2.C ∵y＝sin2x＋sin2x＝sin2x＋＝＋sin， ∴值域为. 3．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是(　　) A． B． C． D． 3.B 由于函数f(x)的图象关于x＝对称，则f(0)＝f，∴a＝－－，∴a＝－， ∴g(x)＝－sinx＋cosx＝sin，∴g(x)max＝. 4．函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________． 4.　 ，。 5．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝______________. 5. 由y＝sinx－cosx＝2sin(x－)，由0≤x<2π⇔－≤x－<， 可知－2≤2sin(x－)≤2，当且仅当x－＝时即x＝取得最大值． 6.函数的最小正周期是 ，最小值是 ． 6. ，所以；. 7.已知函数 （1）当时，求的单调递增区间； （2）当且时，的值域是求的值 7.解： （1） 为所求 （2）， 。 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 帮你解决与三角函数有关的最值（值域）问题 最值问题是三角中考查频率最高的重点内容之一，是对三角函数概念、图像、性质以及对诱导公式、同角三角函数关系、三角恒等变换公式等内容的综合考查，也是函数内容的交汇点，常见有下面几种解题方法。 一、转化为函数的最值问题 这种题型一般分两步，第一步，先用和差角公式、二倍角公式到降幂公式、诱导公式等，将函数解析式化为的形式，第二步，再求的最值，一般作法是由自变量x的范围，求出的范围，再根据正弦（或余弦）曲线求出（或）的范围，再由一次函数单调性求出函数值y的范围。 例1.求函数在区间上的最小值。 变式．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(