专题05 帮你解决给值求角问题-2020-2021学年高中数学之三角函数解题技法全指导

帮你学好给值求角问题 给值求角问题比给值求值问题，又多了一步，需由三角函数值求角。有两个难解决的问题，一个是求哪一个三角函数值；另一个是确定所求角的个数（大小）。现结合实例阐述如下： 一、由所求角的范围确定求哪个三角函数值 给值求角时，一般根据已知条件（特别是角的范围）确定求哪个角的三角函数值，一般要求三角函数值与角构成一一对应关系，这样所求的角才只有一个值。 例1.设为钝角，且，求的值。 分析：要求角的值，要先求其某一三角函数值。要由的范围确定求哪个三角函数值。 解：∵为钝角，且，， ，。 ∴。 又，所以。 点评：分析由知，余弦值与角一一对应，而正弦值则不行，故求的余弦值。 例2.已知均为锐角，且，求的值。 分析：要求的值，首先求的某一三角函数值；求的哪一三角函数值，需根据的范围。 解：∵均为锐角，且， ，。 。 又，。所以。 点评：注意由的范围确定应求的正弦值，这样所求角与正弦值构成一一对应关系，不会出现多解的情形，若求余弦值很容易出现两解的错误情形。 二、由已知的三角函数值缩小角的范围 由已知的三角函数值缩小角的范围，从而确定所求的角的个数，一般为一个，一般将角的范围缩小到所求角只有一个。 例3.已知，且，求的值，并求角的值。 分析：要求的值，需先求的值；要求角的值，还需先缩小的范围。 解：， 。 ∵，又，，。又 ，。所以。 点评：特别要注意根据三角函数值缩小角的范围，一般缩小在角与三角函数值一一对应的范围，否则可能出现两解的错误解法。 例4.已知，且是方程的两根，求的值。 分析：先由已知求的正切值，再由的范围写出的值。 解：∵是方程的两根， 。又，， ∴。又所以。 点评：本题要特别注意所求角的范围，否则会错误地弄为两解；要学会通过三角函数值缩小角的范围。 小试牛刀 1．已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均为钝角，则α＋β的值是(　　) A. B. C. D．－ 1. C ∵α和β均为钝角，∴cosα＝－＝－，cosβ＝－＝－. ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－×－×＝.由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝. 2．已知sinα＝，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 2.B sinα＝，且α为锐角，则cosα＝，tanα＝；所以tan(α＋β)＝ ＝＝－1.又α＋β∈(，)，故α＋β＝. 3．若sin(－α)＝－，sin(＋β)＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为________． 3. π ∵<α<，<β<，∴－<－α<0，<＋β<π.∴cos(－α)＝＝， cos(＋β)＝－＝－，∴cos(α＋β)＝cos[＋β－(－α)]＝cos(＋β)cos(－α)＋sin(＋β)sin(－α)＝(－)×＋×(－)＝－，又<α＋β<π，∴α＋β＝π. 4.若sin A＝，sin B＝，且A、B均为钝角，求A＋B的值． 4.解:∵A、B均为钝角且sin A＝，sin B＝，∴cos A＝－＝－＝－， cos B＝－＝－＝－.∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝－×－×＝①.又∵<A<π，<B<π，∴π<A＋B<2π.②, 由①②，知A＋B＝. 5.已知，其中． （1）求的值；（2）求的值． 解：（1）由，则， 则，解得。 （2）∵，则由 ，，。又，。 ，。 6.已知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝. (1)求sin α的值；　 (2)求β的值． 6.解：(1)∵tan ＝，∴sin α＝sin＝2sin cos ＝＝＝＝. (2)∵0<α<，sin α＝，∴cos α＝.又0<α<<β<π，∴0<β－α<π.由cos(β－α)＝， 得sin(β－α)＝.∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝×＋×＝＝.由<β<π得β＝π.(或求cos β＝－，得β＝π) ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 帮你学好给值求角问题 给值求角问题比给值求值问题，又多了一步，需由三角函数值求角。有两个难解决的问题，一个是求哪一个三角函数值；另一个是确定所求角的个数（大小）。现结合实例阐述如下： 一、由所求角的范围确定求哪个三角函数值 给值求角时，一般根据已知条件（特别是角的范围）确定求哪个角的三角函数值，一般要求三角函数值与角构成一一对应关系，这样所求的角才只有一个值。 例1.设为钝角，且，求的值。 例2.已知均为锐角，且，求的值。