专题02 诱导公式的三“导”功能-2020-2021学年高中数学之三角函数解题技法全指导

诱导公式的三“导”功能 诱导公式可以将任意角的三角函数“导”为锐角三角函数或其他我们需要的角的三角函数。下面举例说明诱导公式在导角、导名、导式中的应用功能。 1.导角：即将一般角导为锐角、特殊角、特定角等需要的角 例1.计算：。 分析：若，则。 解：原式 。 点评：对问题特点的敏锐观察、公式的恰当选择及准确应用，是解好三角函数求值问题的关键。 变式．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　　) A．89 B．90 C． D．45 解析：C ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1， ……，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋sin246°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°＝44＋＝. 2.导名：即导出需要的函数名称 例2.对任意实数x和整数n，若，求。 分析：常规思路是由的解析式求，即以来代换中的x。但对本题而言，不易求出的解析式，可结合条件应用诱导公式来求解。 解： 。 点评：在研究三角函数时需对比条件和结论，注意函数名称的变化。本题巧妙地运用诱导公式将化为，为应用“”创造了条件。 变式.要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数g(x)＝sin的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：C 因为f(x)＝cos＝sin＝sin＝sin， 所以要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数g(x)＝sin的图象向左平移个单位长度.故选C. 3.导式：即导出需要的函数式 例3.已知，，求的值。 分析：由于不是轴线角，故不能直接利用诱导公式化为角的三角函数。观察已知式和欲求式，将与视为整体，发现它们的和为轴线角。故可用诱导公式将已知所求联系起来。 解： 。 ，。 点评：当出现非轴线角和的和或差时，不能直接利用诱导公式，需将已知角与所求角视为整体，再看它们之间的关系，若它们的和或差为轴线角，再用相应的诱导公式。 变式．已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值． 解：∵cos(75°＋α)＝>0，α是第三象限角， ∴sin(75°＋α)＝－＝－.。 故sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－－＝－. 小试牛刀 1．已知cos(75°＋α)＝，则cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 1.D ∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－， sin(15°－α)＝sin[90°－(75°＋α)]＝cos(75°＋α)＝，∴cos(105°－α)－sin(15°－α)＝－－ ＝－. 2．如果f(sinx)＝cos2x，那么f(cosx)等于(　　) A．－sin2x B．sin2x C．－cos2x D．cos2x 2.C f(cosx)＝f＝cos2＝cos(π－2x)＝－cos2x. 3．已知函数f(x)满足f(cosx)＝1－cos2x，则f(sin15°)＝________. 3.1＋ ∵f(cosx)＝1－cos2x，∴f(sin15°)＝f(cos75°)＝1－cos150°＝1－cos(180°－30°) ＝1＋cos30°＝1＋. 4．sin2＋sin2＝______________． 4.1 sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1. 5．若sin＝，则cos＝________. 5．－ cos＝cos＝－sin＝－. 6．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______． 6．1 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1. 7.指出y＝cos的图象是怎样由y＝sin x的图象变换得到的？ 7.解：∵y＝cos＝sin＝sin，∴y＝cos的图象是由y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，再将所