专题01 同角三角函数关系式的三大应用-2020-2021学年高中数学之三角函数解题技法全指导

同角三角函数关系式的三大应用 1. 已知一个三角函数值求另外两个三角函数值 例1. 已知角α∈(－，0)，cosα＝，则tanα＝(　　) A. －　 B. － C. 　　 D. － 变式.已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________. 二、已知的值求关于、的齐次分式的值 ㈠求关于、的齐一次分式的值 例2.已知，求的值。 变式：已知,求的值。 ㈡求关于、的齐二次分式的值 例3. 已知，求的值。 变式：已知,求的值。 ㈢所求式子没有分母，可将分母视为 例4. 已知，求的值。 变式：已知,求。 三、与知一求二 有一类题目已知所求中出现或的值，经常利用同角三角函数基本关系式中的平方关系，进行三者间的相互转化。现结合实例说明如下： 例5.已知，_________. 变式.已知，则(　　) A．－ B. C．－ D. 小试牛刀 1.已知是第四象限角，且，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 2.已知,则（ ） A． B． C． D． 3．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)． A. B．－ C．－2 D．2 4.已知_____________. 5.已知，而是方程的两个实数根，求k和的值. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 同角三角函数关系式的三大应用 1. 已知一个三角函数值求另外两个三角函数值 例1. 已知角α∈(－，0)，cosα＝，则tanα＝(　　) A. －　 B. － C. 　　 D. － 分析：先根据平方关系，由cosα＝求出sinα，再根据商数关系求出tanα。 解析：.D ∵α∈(－，0)，cosα＝，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－。 点评：已知一个三角函数值求另外两个三角函数值，也可以由锐角三角函数的定义求出三角函数的绝对值，符号根据角所在象限确定。 变式.已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________. 解析：.－ ∵α是第二象限的角，∴cos α<0.又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－， ∴cos α＝－. 二、已知的值求关于、的齐次分式的值 ㈠求关于、的齐一次分式的值 例2.已知，求的值。 分析：本题若先由的值求出、的值，再代入，求出其值，由于不知角所在的象限，需分两种情况，那就比较繁琐，故需寻求新的解题思路。可将所求的分式分子分母同除以，将所求的式子转化为关于的式子，将代入，求出式子的值。 解：∵，∴。 点评：以上解法用了同角三角函数关系式中的商数关系，简单明了。 变式：已知,求的值。 解析：原式=. ㈡求关于、的齐二次分式的值 例3. 已知，求的值。 分析：可先利用平方关系，将所求式子化为关于、的齐二次分式，再分子分母同除以，将所求式子转化为关于的分式，再将将代入，求出式子的值。 解: 。 点评：以上解法中，一开始为将所求式子化为齐二次分式，由简变繁，将1化为了，不合常理，故应特别注意。 变式：已知,求的值。 解析：原式. ㈢所求式子没有分母，可将分母视为 例4. 已知，求的值。 分析：将所求式子分母视为，从而转化为齐二次分式。. 解： 。 总评：在已知的值求关于、的齐次分式的值时，一般地是将、的齐次分式转化为的表达式。如果是一次式，通常要分子分母同除以：如果是二次式，通常要分子分母同除以。还要特别注意1的灵活应用，常将1换为，从而转化为齐二次分式。 变式：已知,求。 解析：原式 =。 三、与知一求二 有一类题目已知所求中出现或的值，经常利用同角三角函数基本关系式中的平方关系，进行三者间的相互转化。现结合实例说明如下： 例5.已知，_________. 分析：先将已知等式两边平方，利用平方关系求出的值；要求的值，先求其平方的值，将的值整体代入。 解析：由，得，， 又∵，又， 所以=.故应填。 点评：注意开方时正负的判断。 变式.已知，则(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：B ，又， ，所以. 小试牛刀 1.已知是第四象限角，且，则 （ ）