专题七 双曲线（专题测试）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题七 双曲线（专题训练） 一、单选题 1．设双曲线的右焦点为，点.已知点在双曲线的左支上，且，，不共线，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【解析】如图，设为的左焦点，连接，， 则，， 所以的周长. 因为，所以的周长. 因为的周长的最小值是，所以， 所以，所以双曲线的离心率是.故选D 2．已知点为双曲线：（，）的右焦点，点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半，则双曲线的离心率为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，即. ∵点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半 ∴，即. ∴，即. ∴ ∴双曲线的离心率为. 故选B. 3．已知双曲线，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由题可知， 因为虚轴长为2，所以， 所以，得， 所以离心率，故选：A 4．点到双曲线的一条渐近线距离为（ ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线方程为， 可以求得点到直线的距离为， 故选：B. 5．当变化时，对于双曲线，值不变的是（ ） A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率 【答案】D 【解析】由题意可得，故选：D. 6．双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题知：，，则， 所以.故选：B 7．已知第一象限内的点M既在双曲线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的左、右焦点分别为、，的焦点为， 所以抛物线的准线方程为：， 又因为是以为底边的等腰三角形， 过M作MA垂直准线，如图所示： 则， 所以四边形是正方形， 则是等腰直角三角形， 所以， 所以， 又， 所以， 即， 解得.故选：A 8．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 由圆的方程，得圆的半径为． 过作的垂线，则为的中点， 又，为的中点，设双曲线的右焦点为，连接， 则为三角形的中位线，可得，则， 由，可得． ，则， 由勾股定理可得：， 整理得：． 解得：或（舍．故选：． 9．若双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为双曲线的离心率， 所以， ， 所以该双曲线的渐近线方程为，故选B. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，，， 如图所示： 连接，，，由内切圆的性质可得：，，， 所以， ， 所以， 由双曲线的定义可知：， 所以可得，重合， 所以， 所以. 故选：． 11．设双曲线（）的焦距为12，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为可化为， 所以，则.故选：B. 二、多选题 12．曲线与的离心率分别为，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由曲线，可得，则，可得离心率， 由曲线，可得，则， 可得离心率， 因为，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D错误.故选：BC. 三、填空题 13．已知双曲线：的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该双曲线的离心率为____________． 【答案】 【解析】设焦点坐标是， 其中一条渐近线方程是，设焦点关于渐近线的对称点是， 则 ，得：，解得：， 所以，， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 14．双曲线的渐近线方程为_______. 【答案】 【解析】根据双曲线的方程得 则其渐近线方程为 故答案为： 15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线左、右支于另一点，，，且，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】由题意，，， ，， ，， 由余弦定理可得， ， ． 故答案为：． 16．己知双曲线的左、右焦点分别为，直线是双曲线过第一、三象限的渐近线，记直线的倾斜角为，直线，，垂足为，若在双曲线上，则双曲线的离心率为_______ 【答案】 【解析】设， 则，即， 解得， 则， 所以， 即， 代入双曲线的方程可得， 所以 所以 解得.故答案为： 四、解答题 17．已知命题表示双曲线，命题表示焦点在轴上的椭圆； （1）若p且q为真命题，则p是q的什么条件？ （2）