考点18 平面向量的数量积及应用举例-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点18 平面向量的数量积及应用举例 【命题解读】 1．理解平面向量数量积的概念及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的坐标运算； 3．掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系； 4．会用坐标表示平面向量的平行与垂直； 【命题预测】 1. 考查平面向量的线性表示和向量的数量积的应用，主要为中档题； 2．考查平面向量的数量积及向量垂直、共线的判断，属于简单题； 3．预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】 一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念 设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度. （3）数量积的几何意义 由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积. 2．平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 ①交换律：； ②数乘结合律： ； ③分配律：. 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角. （1）数量积：. （2）模：. （3）夹角： . （4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|. 【注】当与同向时,； 当与反向时,. （5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔. 考向一 平面向量数量积的运算 平面向量数量积有两种计算公式： 一是夹角公式； 二是坐标公式. 典例1 在边长为2的等边三角形ABC中，若，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件，转化，再根据数量积公式计算结果. 【详解】 ， 所以 . 故选：A 【点睛】 本题考查向量数量积，平面向量基本定理，重点考查转化与计算，计算能力，属于基础题型. 考向二 平面向量中的投影问题 解题技巧： 1、 合理利用投影的计算公式； 2、 转化为向量的数量积进行运算. 典例1 已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量垂直求得，再根据数量积的定义求得在方向上的投影． 【详解】 因为，，， 所以在方向上的投影为． 故选：B． 【点睛】 本题考查向量的数量积以及向量投影的几何意义，属于中档题. 考向三 平面向量中的夹角问题 解题技巧： 1、夹角的计算公式； 2、利用坐标求夹角. 典例1 已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量投影的计算公式，结合夹角范围即得结果. 【详解】 设与的夹角为，故向量在向量上的投影为，因为， 所以，又因为，得. 故选：D. 【点睛】 本题考查了利用数量积几何意义求向量夹角，属于基础题. 典例2 已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 把平方求出，再由数量积定义求得夹角的余弦值，得夹角． 【详解】 因为，所以 所以， 故，故与的夹角为. 故选：D 题组一 基础过关 1．已知向量，若，则向量与向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 2．已知在四边形中，，，，则（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知向量，是两个夹角为的单位向量，且，，，若，，三点共线，则________. 4．如图，在△中，，，D在斜边BC上，且，则的值为_____. 5.已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D．1 6.已知平面非零向量满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7.在边长为2的等边三角形ABC中，若，则（ ） A． B．2 C． D．4 8.已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 题组二 能力提升 1．已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 2.已知向量，，若与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 3.已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 4.已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5.设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则（ ） A． B． C． D．1 题组三 体验真题 1．【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a，b满足，，，则 A． B． C．