考点17 平面向量的基本定理及向量坐标运算-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点17 平面向量的基本定理及向量坐标运算 【命题解读】 1．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3．会掌握平面向量的加法、减法、数乘的坐标运算. 【命题预测】 1.考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量的坐标计算，主要为基础题； 2.考查平面向量的线性运算以及基底向量的用法，需要根据题意确定基底向量，多为.基础题； 3.考查平面向量的线性运算和共线定理的应用； 4.预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】 一、平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 二、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标. 三、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法 （1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1）， |a|=，|a＋b|=. 3．平面向量共线的坐标表示 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0. 考向一 平面向量基本定理 方法策略： （1）根据题意选准基底或建立直角坐标系. （2）结合平面几何知识，运用平面向量的线性运算，用基底或坐标表示所求向量. 典例1 如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 把向量，作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解. 【详解】 解：因为是的中点，所以， 因为点是边的中点，所以， 所以,, 故选：B 【点睛】 此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题. 考向二 平面向量的坐标运算 解题技巧： （1）向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同. （2）向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算 典例1 已知点，，向量，则向量与（ ） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 【答案】D 【解析】 【分析】 由向量的坐标运算法则计算出，再判断与的关系. 【详解】 ，所以向量芳与平行且反向. 故选：D. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直、共线的判断，属于简单题. 典例2 已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若 ，则等于（ ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】A 【解析】 【分析】 分别写出向量，，的坐标，建立等量关系，求解的值. 【详解】 如图所示，建立平面直角坐标系， 则，，. 因为，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)， 所以 解得 所以. 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的坐标表示，根据向量相等，求参数的取值范围，属于基础题型. 考向三 向量共线（平行）的坐标表示 方法指导： （1） “若，，则的充要条件是”； （2） 三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线． 典例1 已知向量，，若，则实数________. 【答案】6 【解析】 【分析】 根据即可得出，解出即可． 【详解】 向量，，且，，． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题． 典例2 已知向量，，.若，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 求得向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值. 【详解】 向量，，，则， 又，则，解得. 故答案为：. 【点睛】 本题考查利用平面向量共线的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题. 题组一 基础过关 1．已知向量，，且，则m的值为（ ） A．1 B． C．4 D． 2．设向量，，，且满足，则（ ） A． B． C． D．2 3．已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ，µ满足（