考点16 平面向量的概念及其线性运算-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点16 平面向量的概念及其线性运算 【命题解读】 1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念； 2．掌握平面向量加法、减法的概念，并理解其几何意义. 【命题预测】 1.考查向量加减法运算的平行四边形法则、三角形法则； 2.考查向量，利用向量相关概念、性质判断正误，考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题； 4.考查相等向量、共线向量、零向量等知识； 3.预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】 一、平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 共线向量 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的 积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与 a的方向相同；当λ<0时， λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 三、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得. 注意：限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． 考向一 平面向量的概念 方法指导： （1）准确理解向量有关知识，应重点把握两个要点：大小和方向. （2）向量线性运算的结果仍是向量，准确运用定义和运算仍需从大小和方向角度去理解. 典例1　给出下列命题： (1)平行向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数； (3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； (4)若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确的序号是____． [分析]　 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响． [解析]　 (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．故填(3)． 规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 考向二 平面向量的线性运算 解题技巧： （1）灵活运用向量加、减法中的平行四边形法则和三角形法则. （2）充分利用平面几何知识，发掘直线的平行关系和线段的比例关系 典例1 在四边形ABCD中，＝2a－3b，＝－8a＋b，＝－10a＋4b，且a，b不共线，试判断四边形ABCD的形状． [分析]　 由题设条件求出AD＝2BC且AB不平行于CD可得ABCD是梯形． [解析]　 ∵＝2a－3b，＝－8a＋b，＝－10a＋4b， ∴＝＋＋＝－16a＋2b，∴＝2， ∴AD∥BC，AD＝2BC且AB不平行于CD． ∴四边形ABCD是梯形． 规律方法：利用向量线性运算解决几何问题的思路 (1)把几何元素化为向量．(2)进行向量的线性运算．(3)把结果翻译成几何问题． 考向三 向量共线（平行）定理 向量共线（平行）定理： 等价于存在不全为零的实数，使成立. 典例1 设a，b是不共线的两个向量，已知＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，C三点共线 D．B，C，D三点共线 答案　B 解析　 因为＝a＋2b，所以＝－a－2b，所以＝＋＝(－a－2b)＋(4a－4b)＝ 3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3.所以∥，所以A，C，D三点共线． 题组一 基础过关 1．已知菱形ABCD中，，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ） A． B． C． D． 3．设向量不共线，向量与平行，则实数__________ 4．如