考点15 正、余弦定理及解三角形-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点15 正、余弦定理及解三角形 【命题解读】 1. 掌握正弦定理、余弦定理及其应用； 2．能利用三角形的面积公式求三角形的面积； 3．能利用利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. 【命题预测】 1．考查正、余弦定理的综合应用，涉及利用正弦定理进行边角转化以及余弦定理解三角形，难度一般； 2．考查三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系； 3．着重考查正弦定理与余弦定理，考查三角形的面积公式，属于中档题 4．预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】 一、正弦定理 1．正弦定理 在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1） （2） （3） （4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径. 二、余弦定理 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2．余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论： . 三、利用余弦定理解三角形的步骤 四、解三角形的实际应用 1．三角形的面积公式 设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S. （1） (h为BC边上的高)； （2）； （3）(为三角形的内切圆半径)． 2．三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA． 五、解三角形实际应用题的步骤 考向一 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求边和角的方法： （1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置． （2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 典例1 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，，则（ ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得，分和两种情况求解，可得结果． 【详解】 ∵，∴． ①当时，为直角三角形，且． ∵，，∴． ②当时，则有，由正弦定理得． 由余弦定理得，即， 解得． 综上可得，1或 故选：C． 【点睛】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题． 考向二 三角形形状的判断 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路： （1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. （2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. 典例1 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若，试判断的形状． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形. 【解析】 【分析】 （1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A； （2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得，结合（1）的结论即可知的形状． 【详解】 （Ⅰ）∵，整理得， ∴，∴． （Ⅱ）由正弦定理，得，而， ∴，即， ∴，∴，∴为等边三角形． 【点睛】 本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题. 考向三 三角形的面积问题 求三角形面积的方法： 1、若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解． 2、若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 典例1 在中，内角、、的对边分别是、、，已知. （1）求角的值；（2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）5. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理化边为角，即可化简求出角； （2）由余弦定理求出，再利用面积公式即可求出. 【详解】 （1）由正弦定理知：，，， 又因为，所以，所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以，即， 因为是的内角，所以. （2）在中，由余弦定理知：， 因为，，所以， 整理得，即，所以. 所以的面积. 【点睛】 本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题. 向四 三角形中的几何计算问题 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已