3.3幂函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修一同步讲义

3.3幂函数 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 2、常见的5种幂函数的图象 函数特征性质 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 3、幂函数的性质 （1）幂函数在(0，＋∞)上都有定义； （2）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； （3）当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. （4）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. SHAPE \* MERGEFORMAT 题型一 基本定义 例 1 若函数 是幂函数且为奇函数，则 的值为（） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【详解】 由题意，函数 是幂函数，可得 ， 解得 或 ， 当 时，函数 ，此时函数 为奇函数，满足题意； 当 时，函数 ，此时函数 为奇函数，满足题意， 故选D. 题型二 大小比较 例 2 已知幂函数 在 上单调递减，若 ， ， ，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【详解】 由于函数 为幂函数，且在 上单调递减， 则 ，解得 ， ， ， ， 由于指数函数 在 上为增函数，因此， ，故选：B. 题型三 性质应用 例 3 已知幂函数f（x）= 的图象与x轴和y轴都无交点． （1）求f（x）的解析式； （2）解不等式f（x+1）>f（x–2） 【详解】 （1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}， 又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点， 经检验，只有当m=1时符合题意， 所以m=1，此时f（x）=x–4； （2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减， 所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，只需|x+1|<|x–2|，解得x< ， 又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x< ，x≠0}． 题型四 定点问题 例 4 已知幂函数的图象过函数 的图象