3.2函数的基本性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修一同步讲义

3.2函数的基本性质 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数单调性的常用结论 ①对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq \f(f(x1(－f(x2(,x1－x2)＞0或 ⇔f(x)在D上是增函数，eq \f(f(x1(－f(x2(,x1－x2)＜0或 ⇔f(x)在D上是减函数，即Δx与Δy同号增，异号减． ②在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． ③复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． ④对勾函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)的单调性，如图可知，(0，eq \r(a)]减，[eq \r(a)，＋∞)增，[－eq \r(a)，0)减，(－∞，－eq \r()a]增． (4)注意：对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性 (1(定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分(、定号、下结论. (2(复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. (3(图象法：如果f(x(是以图象形式给出的，或者f(x(的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. (4(导数法：利用导函数的正负判断函数单调性. (5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法. 易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. ②如有多个单调增(减(区间应分别写，不能用“∪”联结. 2、函数最值 （1）概念 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)