专题7 双曲线高考真题赏析2020-2021学年高中数学选修2-1双曲线专题（北师大版）

专题7 双曲线高考真题赏析（解析版） 一、单选题 1，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 设 为坐标原点，直线与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】 【分析】 因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ， 两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 双曲线的渐近线方程是 直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点 不妨设 为在第一象限， 在第四象限 联立 ，解得 故 联立 ，解得 故 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当 取等号 EMBED Equation.DSMT4 的焦距的最小值： 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 2，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】 ， ，根据双曲线的定义可得 ， ，即 ， ， ， ，即 ，解得 ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 3，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到 ，根据直角三角形的条件，可以确定直线 的倾斜角为 或 ，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为 ，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 ，利用两点间距离公式求得 的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ， 从而得到 ，所以直线 的倾斜角为 或 ， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ， 可以得出直线 的方程为 ， 分别与两条渐近线 和 联立， 求得 ， 所以 ，故选B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 4，2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II） 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选A. 点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： . 5，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题 设 , 是双曲线 （）的左、右焦点， 是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 分析：由双曲线性质得到 ， 然后在 和在 中利用余弦定理可得． 详解：由题可知 在 中， 在 中, 故选B. 点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题． 6，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 若双曲线 EMBED Equation.DSMT4 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则 的离心率为 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 由几何关系可得，双曲线 的渐近线方程为 ，圆心 到渐近线距离为 ，则点 到直线 的距离为 ， 即 ，整理可得 ，双曲线的离心率 ．故选A． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式