专题4 双曲线基础知识和各类题型-2020-2021学年高中数学选修2-1双曲线专题（北师大版）

专题4 双曲线基础知识和各类题型（解析版） 一、定义：平面内与两个定点 INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps1CD.tmp.png" \* MERGEFORMAT ，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 二、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 虚轴的长    实轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 ，越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 四、直线与圆锥曲线的位置关系 2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。 1. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 2. 若，设。 3. .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 五、弦长问题： 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 = INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps231.tmp.png" \* MERGEFORMAT = INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps233.tmp.png" \* MERGEFORMAT = INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps235.tmp.png" \* MERGEFORMAT = INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps237.tmp.png" \* MERGEFORMAT 题型一：求双曲线的解析式 例1．求下列双曲线的标准方程. （1）与双曲线 － ＝1有公共焦点，且过点(3 ，2)的双曲线； （2）以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝± 为渐近线的双曲线. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为 ，将点 ， 代入双曲线方程，解方程可得 ， ，进而得到双曲线的方程；（2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设 ，根据双曲线的渐近线为 求出 ，可得答案． 【详解】 （1） 双曲线 的焦点为 ， ， 设所求双曲线方程为 ， 又点 ， 在双曲线上， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 或30（舍去）， 所求双曲线方程为 ． （2）椭圆 可化为 ， 其焦点坐标为 ， ， 所求双曲线的焦点为 ， ， 设双曲线方程为 双曲线的渐近线为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 即所求的双曲线方程为 ． 【点睛】 本题考查双曲线的方程的求法，考查椭圆的性质，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题． 例2．在下列条件下求双曲线标准方程. （1）经过两点 ， ； （2）焦点在 轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为 ，且经过点 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据题意可设双曲线的标准方程为 ，将题干中两点坐标代入双曲线的方程，可求出 、 的值，即可得出所求双曲线的标准方程； （2）根据题可设双曲线的标准方程为 ，根据双曲线的定义可求出 的值，再将点 的坐标代入双曲线的标准方程，求出 的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】 （1）由于双曲线过点 ，则该双曲线的焦点在 轴上， 设双曲线标准方程为 ， 由题意可得 ，解得 ， 因此，所求双曲线的标准方程为 ； （2）由双曲线的焦点在 轴上，可设双曲线的标准方程为 ， 由双曲线的定义可得 ，则 ，所以，双曲线的标准为 ， 将点 的坐标代入双曲线的标准方程得 ，解得 ， 因此，所求双曲线的标准方程为 . 【点睛】 本题考查双曲线标准方程的求解，解题时要确定双曲线的