专题3 直线与双曲线的位置关系-2020-2021学年高中数学选修2-1双曲线专题（北师大版）

专题3：直线与双曲线的位置关系（解析版） 【教学目标】 重点、难点 重点：直线与双曲线的位置关系及判断方法。 难点：学生解题综合能力的培养。 学科素养 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。事物之间即有区别又有联系的辩证观点。 【知识清单】 1. 直线与双曲线的位置关系的判断 设直线 y=kx+b ，双曲线 － ＝1 ( a >0， b >0) 联立 消去y得A x 2 + B x+ C =0（a≠0），Δ= B 2 － 4 AC 。 若 A=0 即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ >0, 直线与双曲线相交，有两个交点； 若 Δ =0， 直线与双曲线相切，有一个交点； 若 Δ <0， 直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1 ,y 1 )，P2 (x 2 ,y 2 )， 且由，消去y→ax 2 +bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 － 4ac 。 相交弦AB的弦长 或 【经典例题】 题型一：求直线 例1已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为 . (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋ 与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围； 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据焦点坐标求得 ，根据实轴长求得 ，结合 求得 ，由此求得双曲线方程.（2）将直线 的方程代入双曲线方程，根据判别式以及两根和与两根的积的情况列出不等式组，解不等式组求得 的区范围. 【详解】 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)． 由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1， ∴双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1， 得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由题意知解得<k<1. ∴当<k<1时，l与双曲线左支有两个交点． 【点睛】 本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查直线和双曲线的位置关系，数中档题. 例2．已知双曲线的方程为 ． （1）求以 为中点的双曲线的弦所在直线的方程． （2）过点 能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于 ， 两点，且点B是弦 的中点？如果直线l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）设以 为中点的弦的两端点为 ， EMBED Equation.DSMT4 ，利用点差法能求 为中点的双曲线的弦所在的直线方程. （2）假设直线l存在，由已知条件利用点差法求出直线l的方程为 ，联立方程组，根据判别式可知直线l是否存在. 【详解】 （1）因为点 在双曲线内， 所以过点A不与渐近线平行的直线一定与双曲线有两个交点． 设以 为中点的弦的两端点为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 则有 ， ． 根据双曲线的对称性知 ．由点 ， 在双曲线上，得 ， ， 两式相减得 ， 所以 ，所以 ， 即以 为中点的弦所在直线的斜率 ， 故所求中点弦所在直线的方程为 ，即 ． （2）假定直线l存在，采用（1）的方法求出直线l的方程为 ， 即 ．由 ，消去y得 ， ，无实根， 因此直线l与双曲线无交点，故满足条件的直线l不存在． 【点睛】 本题主要考查了直线方程的求法，主要涉及点差法，属于中档题. 例3．已知双曲线 ： 的离心率为 ，且过点 . （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 ： 与双曲线 恒有两个不同的交点 ， ，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）首先根据离心率可以得到a与b的关系是 ，应用此关系将双曲线方程化简，接下来将点P的坐标代入方程，整理后即可得到曲线C的方程； （2）联立直线 与双曲线C的方程，消去y项，可以得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的解，于是可得关于k的不等式组，通过解不等式组求出k的取值范围. 【详解】 （1）由 ，可得 ， 所以 ， 故双曲线方程可化为 ， 将点 代入双曲线 的方程， 解得 ，所以双曲线 的方程为 ； （2）联立直线与双曲线方程， EMBED Equation.DSMT4 ， 由题意得， ， 解得 且 ， 所以 的取值范围为 . 【点睛】 本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 例4．已知双曲线 : ,直线 : , , 为双曲线 的两个焦点, 与双曲线 的一条渐近线平行且过其中一个焦点． （1）求双曲线 的方程; （2）设 与 的交点为 ,求 的角平分线所在直线