专题1 双曲线及其标准方程学案-2020-2021学年高中数学选修2-1双曲线专题（北师大版）

专题1 双曲线及其标准方程（解析版） 【教学目标】 重点、难点 重点：双曲线的定义和标准方程。 难点：双曲线标准方程的推导过程。 学科素养 培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。 【知识清单】 1、定义：平面内与两个定点 INCLUDEPICTURE "../../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps1CD.tmp.png" \* MERGEFORMAT ，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 【经典例题】 例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8. （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8. （3）离心率 ，经过点 . 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，得到 的值，结合双曲线焦点所在轴，求得双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到 的值，利用双曲线中 的关系，求得 的值，根据双曲线焦点所在轴，求得双曲线的标准方程； （3）根据题意，得到双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程，求得结果. 【详解】 （1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8， 可得 ，则有 ， 又因为双曲线的焦点在x轴上， 所以双曲线的标准方程为： ； （2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8， 可得 ，则 ，所以 ， 又因为双曲线的焦点在y轴上， 所以双曲线的标准方程为： ； （3）根据题意，双曲线的离心率 ，即 ，则有 ， 所以 ， 所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为 ， 又因为双曲线经过点 ，则有 ，则 ， 所以双曲线的标准方程为： . 【点睛】 该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的标准方程的求法，属于基础题目. 例2．在周长为48的直角三角形 中， ，求以 为焦点，且过点 的双曲线方程. 【答案】 【解析】 【分析】 首先应建立适当的坐标系，由于 为焦点，建立平面直角坐标系，由双曲线定义可知 ，可求得双曲线方程为标准方程. 【详解】 的周长为48，且 .设 ，则 . .解方程，得 . . 以 所在直线为 轴，以 的中点为原点建立平面直角坐标系， 设所求双曲线方程为 ，由 ，得 . 由 ，则 . . 因此，所求双曲线方程为 . 【点睛】 本题考查建立合适的坐标系，求双曲线的标准方程，解题时，注意合理选取坐标系，这样能使所求的曲线方程更简洁.而确立坐标系建立与否的标准是：看题目是否给出了与坐标系有关的内容，如点的坐标方程等.属于基础题. 例3．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 的右焦点，而且与 轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点 ，求抛物线和双曲线的方程. 【答案】抛物线方程为 ，双曲线方程为 【解析】 【分析】 由已知设抛物线方程为 ，将点 代入即可得到抛物线方程；由抛物线的准线得到双曲线的焦点坐标，再将点 代入双曲线方程中解方程组即可. 【详解】 解：由题意可设抛物线方程为 因为抛物线图像过点 ，所以有 ，解得 所以抛物线方程为 ，其准线方程为 所以双曲线的右焦点坐标为 即 又因为双曲线图像过点 ， 所以有 且 ，解得 ， 或 ， （舍去） 所以双曲线方程为 【点晴】 本题主要考查求双曲线方程，抛物线方程，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 例4．求下列曲线方程． （1）已知椭圆 的离心率为 ，求椭圆 的方程． （2）已知双曲线 的焦距为6，渐近线方程为 ，求双曲线 的方程． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由椭圆 ，得到 ，再根据离心率为 ，得到 求解. （2）由双曲线 的焦距为6，得到 ，再根据渐近线方程为 ，得到 ，即 求解. 【详解】 （1）因为椭圆 ， 所以 ， 又因为离心率为 ， 所以 ， 解得 . 所以椭圆 的方程． . （2）因为双曲线 的焦距为6， 所以 ， 又因为渐近线方程为 ， 所以 ， ， 解得 ， 所以双曲线 的方程． . 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程和双曲线的方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 例5．已知双曲线C的焦点坐标为 ， ，实轴长为6． （1）求双曲线C标准方程； （2）若双曲线C上存在一点P使得 ，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由题意知， ， ，求出 ，即可求解对应双曲线方程； （2）由垂直可得 ，再结合第一定义可得 ，联立求解求出 ，即可求解 【详解】 （1）由条件得 ， ， ，∴ ，∴双曲线方程为： ． （2）由双曲线定义知 且 ， 联立解得 ，∴