第二章 §1 生活中的变量关系（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

§1　生活中的变量关系 学习目标　1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象和函数关系现象.2.能辨析依赖关系和函数关系.3.认识并会分析分段函数． 知识点一　依赖关系 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 思考　某人坐摩天轮一圈用时8分钟．摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？ 答案　此人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟． 知识点二　函数关系 1．如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 2．两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量x和y具有函数关系． 思考　某人坐摩天轮一圈用时8分钟．摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？ 答案　每取一个t值，有唯一一个h值与之对应． 知识点三　依赖关系与函数关系 函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量间的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量． 知识点四　分段函数 一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 1．若两个变量是函数关系，那么它们也是依赖关系．(　√　) 2．若两个变量是依赖关系，那么它们也是函数关系．(　×　) 3．球的体积和它的半径存在依赖关系．(　√　) 4．人的身高和体重之间是函数关系．(　×　) 一、依赖关系与函数关系的辨析 例1　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)圆的面积和它的半径； (2)速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； (3)家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； (4)正三角形的面积和它的边长． 解　(1)中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系； (2)中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系； (3)中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性； (4)中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝a2的关系． 综上，(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系，其中(1)(2)(4)是函数关系． 反思感悟　判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应． 跟踪训练1　下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系； (3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 解　(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系； (2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系； (3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系． 综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系． 二、变量关系的表示 例2　声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表： 气温x/℃ 0 5 10 15 20 音速y(米/秒) 331 334 337 340 343 (1)根据表内数据作图，由图可看出变量________随________的变化； (2)用x表示y的关系式为________________________； (3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米． 答案　(1)音速　气温　(2)y＝x＋331　(3)1 721 解析　(1) 此图反映的是变量音速随气温的变化． (2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)， 故所求函数关系式为y＝x＋331. (3)由(2)可知气温为22 ℃时音速y＝×22＋331， 故此人与燃放的烟花所在地约相距5×＝1 721(米)． 反思感悟　借助图表可以直观地呈现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律． 跟踪训练2　心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关