第一章 §1.1.1 第1课时 集合的概念（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

§1　集　合 1．1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 学习目标　1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”与“不属于”关系.4.记住常用数集的表示符号并会应用． 知识点一　元素与集合的概念 1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的、顺序任意的． 思考　某班所有的“追梦人”能否构成一个集合？ 答案　不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准． 知识点二　元素与集合的关系 关系 说法 记法 属于 a属于集合A a∈A 不属于 a不属于集合A a∉A 思考　符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？ 答案　不能，符号“∈”和“∉”具有方向性，必须左边是元素，右边是集合． 知识点三　常见的数集及表示符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ 1．组成集合的元素一定是数．(　×　) 2．接近于0的数可以组成集合．(　×　) 3．元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相同的．(　×　) 4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(　×　) 一、对集合的理解 例1　(多选)考察下列每组对象，能构成集合的是(　　) A．2 020年全国高考数学试卷中的所有难题 B．中国各地美丽的乡村 C．参加我市新冠防治的志愿者 D．不小于3的自然数 答案　CD 解析　A中“难题”，B中“美丽的”标准不明确，不符合确定性；CD中的元素标准明确，均可构成集合，故选CD. 反思感悟　判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素． 跟踪训练1　下列说法中，正确的是(　　) A．“不超过20的非负数”构成一个集合 B．用实数2,0,2,0组成的集合有4个元素 C．“的近似值的全体”构成一个集合 D．由甲、乙、丙三人组成的集合与丙、乙、甲三人组成的集合不同 答案　A 二、元素与集合的关系 例2　(1)下列关系式中正确的个数为(　　) ①∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z；⑤0∈N. A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　①∵是无理数，∴∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确；⑤0是自然数，故⑤正确． (2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为__________． 答案　2,1,0 解析　由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0，因此A中元素有2,1,0. 反思感悟　判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 跟踪训练2　给出下列说法： ①R中最小的元素是0； ②若a∈Z，则－a∉Z； ③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q. 其中正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确． 三、集合中元素特性的简单应用 例3　已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 解　∵－3∈A， ∴－3＝a－3或－3＝2a－1， 若－3＝a－3， 则a＝0， 此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，a＝0或a＝－1. (学生) 反思感悟　由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 跟踪训练3　已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 答案　B 解析　由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0， 这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾；当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B. 1．现有下列各组对象： ①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点．其中能构成集合的是(　　) A．①③ B．②③ C．③④ D．③④⑤ 答案　D 解析　①著名的数学家无明确的标准，对