第一章 §1.1.3　第1课时 交集与并集（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

1．3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 学习目标　1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 知识点一　交集 思考　当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ 答案　有交集，交集是空集． 知识点二　并集 思考　集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 答案　不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和． 知识点三　交集、并集的性质 1．A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅； 2．A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A. 1．集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集．(　√　) 2．若A∩B＝∅，则A，B均为空集．(　×　) 3．若A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素. (　×　) 4．若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　√　) 一、交集的运算及应用 例1　(1)若集合A＝{x∈Z|－3<x<3}，B＝{x∈N|0≤x≤3}，则A∩B等于(　　) A．{0,1,2} B．{1,2,3} C．{1,2} D．{0,1,2,3} 答案　A 解析　将集合A，B化简，得A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，借助Venn图，可得A∩B＝{0,1,2}． (2)M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为(　　) A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)} 答案　D 解析　由解得∴M∩N＝{(3，－1)}． 反思感悟　求两个集合的交集时，若元素个数有限，则逐个挑出两个集合的公共元素；若集合个数无限，一般要借助数轴求解，要注意端点值的取舍． 跟踪训练1　已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于(　　) A．{x|x>－1} B．{x|x<2} C．{x|－1<x<2} D．∅ 答案　C 解析　在数轴上标出集合A，B，如图所示． 故A∩B＝{x|－1<x<2}． 二、 并集的运算及应用 例2　(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于(　　) A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2} 答案　A 解析　 画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}． (2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案　D 解析　∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4. (学生留) 反思感悟　求两个集合的并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个． 跟踪训练2　设集合A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|2x－3≤0}，则A∪B等于(　　) A．{x|x≤1或x≥3} B．{x|1≤x≤3} C. D. 答案　D 解析　∵集合A＝{x|x≤1或x≥3}， B＝{x|2x－3≤0}＝， ∴A∪B＝. 三、交集、并集的运算性质及综合应用 例3　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 解　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A. (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤. 综合(1)(2)可知k的取值范围是. (教师) 延伸探究 1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围． 解　由A∩B＝A可知A⊆B. 所以即所以k∈∅. 所以k的取值范围为∅. 2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值． 解　由题意可知解得k＝3. 所以k的值为3. 反思感悟　(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： ①A∪B＝B⇔A⊆B； ②A∩B＝A⇔A⊆B； ③A∩B＝A∪B⇔A＝B. 跟踪训练3　已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}． (1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； (2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 解　(1)因为A∩B＝