第一章 §1.1.3　第2课时 全集与补集（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第2课时　全集与补集 学习目标　1.在具体情境中，了解全集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.3.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点　全集与补集 1．全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示，全集包含所要研究的这些集合． 思考　全集一定是实数集R吗？ 答案　不一定，全集是一个相对概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而不同． 2．补集 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 运算性质 ∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 1．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁UA＝{0}，则A等于(　　) A．{－1,1} B．{－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} 答案　A 解析　∵U＝{－1,0,1}，∁UA＝{0}，∴A＝{－1,1}． 2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则∁UA＝______. 答案　{x|x≥2} 解析　∵全集为R，A＝{x|x<2}，∴∁UA＝{x|x≥2}． 3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝__________. 答案　{3,4,5} 解析　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}． 4．设全集为U，M＝{1,2}，∁UM＝{3}，则U＝________. 答案　{1,2,3} 解析　U＝M∪(∁UM)＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}． 一、补集的运算 例1　(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________. (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________. 答案　(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3，或x＝5} 解析　 (1)方法一　A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又∁UB＝{1,4,6}， ∴B＝{2,3,5,7}． 方法二　借助Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上， 如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}． (学生) 反思感悟　求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两个处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 跟踪训练1　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2} C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2} 答案　C 解析　∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}， ∴∁UA＝{x|0<x≤2}，故选C. (2)设全集S＝{1,2,3,4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2,3}，则m＝________. 答案　4 解析　因为S＝{1,2,3,4}，∁SA＝{2,3}，所以A＝{1,4}，即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4. 二、集合交、并、补的综合运算 例2　(1)设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{x∈Z|1<x<4}，则∁U(A∪B)等于(　　) A．{0,1,2,3} B．{5} C．{1,2,4} D．{0,4,5} 答案　D 解析　∵B＝{x∈Z|1<x<4}，∴B＝{2,3}． ∵A＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,3}． ∵全集U＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,4,5}， 故选D. (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B， A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 解　如图所示． ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， U＝{x|x≤4}， ∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}， A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． (学生) 反思感悟