第一章 §2.2.1 第1课时 必要条件与充分条件（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第1课时　 必要条件与充分条件 学习目标　1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 知识点　必要条件与充分条件 1．必要条件与充分条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p不能推出q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考　“若p则q”与“p⇒q”一样吗？ 答案　不一样，只有“若p则q”为真命题时，才有“p⇒q”． 2．性质定理、判定定理与必要条件、充分条件的关系 (1)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． (2)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 1．如果p是q的充分条件，则p是唯一的. (　×　) 2．“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　×　) 3．“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　×　) 4. “x>0”是“x>1”的充分条件．(　×　) 一、必要条件的判断 例1　指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5. 解　(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． (2)因为p⇒q， 所以q是p的必要条件． (3)因为p推不出q， 所以q不是p的必要条件． 反思感悟　必要条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． 跟踪训练1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若|x|＝|y|，则x＝y； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． 解　(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此p推不出q，所以q不是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此p推不出q，所以q不是p的必要条件． (3)等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 二、 充分条件的判断 例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)在△ABC中，若A>B，则BC>AC； (3)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 解　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC，因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件． (学生) 反思感悟　充分条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 跟踪训练2　下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：a是自然数，q：a是正整数； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 答案　③ 解析　 ①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②0是自然数，但是0不是正整数，∴p推不出q， ∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． 三、必要条件与充分条件的应用 例3　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解　p：3a<x<a，设集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a<0， 所以实数a的取值范围是－≤a<0. 延伸探究 1．将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解　p：a<x<3a，设集合A＝{x|a<x<3a}． q：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以⇒a∈∅. (教师) 2．将本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围． 解　p：3a<x<a，其中a<0，设集合A＝{x|3a<x<a}． q：－3≤x≤0，设集合B＝{x|－3≤x≤0}