第一章 §2.2.1 第2课时 充要条件（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第2课时　充要条件 学习目标　1.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明． 知识点　充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 2．条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 思考　命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？ 答案　分四类：充分且必要条件(充要条件)、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件． 1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　√　) 2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　) 3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(　√　) 4．q不是p的必要条件时，“p推不出q”成立．(　√　) 一、充要条件的判断 例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)． (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． (学生留)反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 跟踪训练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (3)a是自然数；q：a是正数． 解　(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (2)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (3)0是自然数，但0不是正数，故p推不出q；又是正数，但不是自然数，故q推不出p.故p是q的既不充分也不必要条件． 二、充要条件的探求 例2　“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是(　　) A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2 答案　D 解析　“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充要条件为“(－2)2－4m≤0”即“m≥1”，又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件，即“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”，故选D. (学生) 反思感悟　探求q的充要条件p，有两种方法： (1)等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． (2)非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两个方面说明． 跟踪训练2　下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是________． ①同位角相等；②内错角相等；③同旁内角互补；④同旁内角相等． 答案　①②③ 解析　由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论． 三、充要条件的应用 例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． (教师) 延伸探究 1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB. 所以或 解不等式组得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若