第一章 §2.2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第2课时　 全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 知识点　全称量词命题与存在量词命题的否定 命题p 命题p的否定 结论 全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题p：∃∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 1．∃x∈M，x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．(　√　) 2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0.”(　√　) 3．从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　×　) 4．全称量词命题与它的否定真假性相反．(　√　) 一、全称量词命题的否定 例1　写出下列命题的否定： (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 解　(1)存在一个矩形不是平行四边形． (2)存在一个素数不是奇数． (3)∃x∈R，x2－2x＋1<0. 反思感悟　对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定： (1)对所有正数x，>x＋1； (2)∀x∈R，x3＋1≠0； (3)所有被5整除的整数都是奇数； (4)每一个四边形的四个顶点共圆． 解　(1)该命题的否定：存在正数x，≤x＋1. (2)该命题的否定：∃x∈R，x3＋1＝0. (3)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数． (4)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． 二、 存在量词命题的否定 例2　写出下列存在量词命题的否定： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2＋1<0； (4)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解　(1)该命题的否定，“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”． (2)该命题的否定；“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”． (3)该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”． (4)该命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”． 反思感悟　对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 跟踪训练2　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)存在一个梯形的对角线互相平分； (2)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (3)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小． 解　(1)假命题，任意一个梯形的对角线都不互相平分． (2)真命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2是有理数． (3)真命题，任意k∈R，函数y＝kx＋b不是随x值的增大而减小． 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例3　对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围． 解　令y＝x2＋4x－1，x∈R， 则y＝(x＋2)2－5≥－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． (教师) 延伸探究 本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围． 解　令y＝－x2＋4x－1， 因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3. 又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解， 所以只要m<3即可， 所以所求m 的取值范围是{m|m<3}． (学生) 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是集合间关系问题，通常转化为利用集合关系求参数范围． 跟踪训练3　命题p：“∃x∈R，ax2－2x－1＝0”．若p为真命题，求实数a的取值范围． 解　若p为真命题，即方程ax2－2x－1＝0有实数根， ①a＝0时，x＝－满足条件； ②a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，即a≥－1，且a≠0. 综上有a≥－1， ∴a的取值范围是[－1，＋∞)． 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 答案　C 解析　条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”． 2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　) A．对任意实数x，都