第一章 §3.3.1 不等式的性质（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 学习目标　1.初步学会作差法比较两实数(代数式)的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 知识点一　基本事实 其本事实 如果a>b⇔a－b>0； 如果a＝b⇔a－b＝0； 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 思考　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？ 答案　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x. 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 4 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 不可逆 5 同向正值可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； a>b>0，c<d<0⇒ac<bd 不可逆 6 可开方性 a>b>0⇒> n∈N＋，n≥2 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. 1．若a>b，则a－c>b－c.(　√　) 2.>1⇒a>b.(　×　) 3．同向不等式相加和相乘的条件是一致的．(　×　) 4.⇔a＋c>b＋d.(　×　) 一、比较大小 例1　(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． 解　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0，且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. (2)a－＝＝， ∵a>0，∴当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<， 综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<. 反思感悟　作差法比较大小的步骤：作差—变形—判断差的符号－得出结论，需要注意的是只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式. 跟踪训练1　已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小． 解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)， 又∵2＋>0，x－1<0， ∴(x－1)<0， ∴x3－1<2x2－2x. 二、利用不等式的性质判断或证明 例2　(1)(多选)已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式不成立的是(　　) A．a2<b2 B．a2b<ab2 C.< D.< 答案　ABD 解析　对于A，当a＝－2，b＝－1，a2<b2不成立； 对于B，当a＝－1，b＝1时，a2b＝1，ab2＝－1，a2b<ab2不成立； 对于C，∵a<b，>0，∴<，即<； 对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1. (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明　方法一　因为c<d<0， 所以－c>－d>0， 因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以0<<， 又因为e<0，所以>. 方法二　－ ＝＝ ， 因为a>b>0，c<d<0， 所以－c>－d>0， 所以a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0， 又e<0， 所以>0， 所以>. (学生) 反思感悟　(1)运用不等式的性质判断命题的真假时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其不能随意捏造性质． (2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导． 跟踪训练2　若<<0，有下面四个不等式： ①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3. 则不正确的不等式的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确． 故不正确的不等式的个数为2. 三、利用不等式的性质求范围 例3　已知12<a<60,15<b<36，求a－b和的取值范围． 解　∵15<b<36，∴－36<－b<－15， ∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. 又<<， ∴<<，即<<4. 故－24<a－b<45，<<4. (教师) 延伸探究 已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范