第一章 §3.3.2 第1课时 基本不等式（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

3．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学习目标　1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值． 知识点　基本不等式 1．如果a≥0，b≥0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值． 两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 思考　基本不等式中a，b只能是具体的某个数吗？ 答案　a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　√　) 2．当a>0，b>0时，a＋b≥2. (　√　) 3．当a>0，b>0时，ab≤2.(　√　) 4．当n∈N＋时，n＋>2.(　√　) 一、对基本不等式的理解 例1　(多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，不成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 答案　ABC 解析　对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，故A错误；当a<0，b<0时，选项B，C错误．因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故选ABC. 反思感悟　基本不等式及变形形式使用的条件：①a2＋b2≥2ab.其中a，b∈R；②≥，其中a≥0，b≥0；③ab≤2，其中a，b∈R. 跟踪训练1　不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________． 答案　x>2y 解析　因为不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x－2y≠0，所以x－2y>0，即x>2y. 二、利用基本不等式直接求最值 例2　(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解　(1)∵x>0，∴>0,4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)∵x<0，∴－x>0. 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8. (3)4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36. 反思感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练2　已知x>0，y>0，xy＝9，则x＋3y的最小值为(　　) A．8 B．6 C．8 D．6 答案　D 解析　利用基本不等式，x＋3y≥2＝2＝6，当且仅当x＝3y＝3时，等号成立，故选D. 三、用基本不等式证明不等式 例3　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 证明　∵a，b，c都是正实数， ∴a＋b≥2>0，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2>0，当且仅当b＝c时，等号成立， c＋a≥2>0，当且仅当a＝c时，等号成立． ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc. 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即证原不等式成立． 反思感悟　利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到． 跟踪训练3　已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8. 证明　因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝>，① －1＝＝>，② －1＝＝>，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③， 得>8. 1．给出下列条件： ①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0. 其中可使＋≥2成立的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　根据基本不等式的条件，a，b同号， 则①③④符合要求，故选C. 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋2≤－2 答案　C 解析　∵a2>0，故a2＋≥2成立． 3．已知x>0，则＋x的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　A 解析　∵x>0，∴＋x≥2＝6， 当且仅当x＝即x＝3时取得最小值6. 4．已知a，b