第一章 §3.3.2 第2课时 基本不等式的应用（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第2课时　基本不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 知识点　用基本不等式求最值 当x，y均为正数时． (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值. (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2. 1．已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　∵ab＝1，∴m＋n＝b＋＋a＋＝a＋b＋＝2(a＋b)≥4＝4. 当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 2．已知x>0，当x＋的值最小时，x为(　　) A．81 B．9 C．3 D．16 答案　B 解析　因为x>0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝，即x＝9时等号成立． 3．已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 答案　 解析　y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x) ≤2＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取“＝”． 4．已知x>2，则x＋的最小值为________． 答案　6 解析　x＋＝x－2＋＋2， ∵x－2>0，∴x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6. 当且仅当x－2＝，即x＝4时取“＝”． 一、利用基本不等式的变形求最值 例1　已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解　方法一　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当＝， 又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)． 由＋＝1可知x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3， 即x＝4，y＝12时上式取等号， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. (教师) 延伸探究　若将条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 解　方法一　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0， 得＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y) ＝＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 方法二　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋ ＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 反思感悟　应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换． 跟踪训练1　已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________． 答案　9 解析　∵x＋y＝1， ∴＋＝(x＋y) ＝1＋4＋＋. ∵x>0，y>0，∴>0，>0， ∴＋≥2＝4， ∴5＋＋≥9. 当且仅当即x＝，y＝时等号成立． ∴min＝9. 二、利用基本不等式解决实际问题 例2　“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解　设该批产品的利润为y， 由题意知y＝·Q－2－x ＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x ＝20－－x＝21－，0≤x≤3. ∵21－≤21－2＝17， 当且仅当x＝1时，上式取“＝”， ∴当x＝1时，ymax＝17. 答　当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元． (学生) 反思感悟　应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2　2016年11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每