第一章 §4.4.1 一元二次函数（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 学习目标　1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质． 知识点一　一元二次函数 1．定义：一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a，b，c是常数)的函数叫做一元二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项． 2．三种不同形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 知识点二　一元二次函数的性质 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴是x＝h；顶点坐标是(h，k) 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间[ h，＋∞)上函数值y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间[ h，＋∞)上函数值y随x的增大而减小 抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝k 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝k 思考　由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换就能得到函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象？ 答案　y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为(　　) A．－7 B．1 C．17 D．25 答案　D 解析　因为函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以＝－2，即m＝－16，所以y＝4x2＋16x＋5，所以当x＝1时，y＝25. 2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是(　　) A．最小值是8，无最大值 B．最大值是－2，无最小值 C．最大值是8，无最小值 D．最小值是－2，无最大值 答案　C 解析　y＝－2(x＋1)2＋8的图象开口向下，所以当x＝－1时取最大值8，无最小值． 3．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是________． 答案　(－1，－3) 解析　y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，故所求顶点坐标为(－1，－3)． 4．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得图象对应的函数解析式为________________． 答案　y＝x2－6x＋5 解析　将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3 ＝x2－6x＋5. 一、一元二次函数的图象及变换 例1　(1)设abc>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 答案　D 解析　A图，a<0，c<0，－<0，∴b<0，∴abc<0，不符合题意． B图，a<0，c>0，－>0，∴b>0，∴abc<0，不符合题意． C图，a>0，c<0，－<0，∴b>0，∴abc<0，不符合题意． D图，a>0，c<0，－>0，∴b<0，此时abc>0满足题意． (2)由函数y＝x2的图象如何得到y＝－x2＋2x＋3的图象？ 解　y＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3 ＝－(x2－2x＋1－1)＋3＝－(x－1)2＋4， ∴由y＝－x2的图象与y＝x2的图象关于x轴对称， 可得y＝－x2的图象． 由y＝－x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3的图象． 反思感悟　处理一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象问题，主要是考虑其图象特征，如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系．在图象变换中，记住“h正右移，h负左移，k正上移，k负下移”． 跟踪训练1　将二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图象，则b＝________，c＝________. 答案　－6　6 解析　y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图象顶点为(1,0)． 将二次函数y＝x2－2x＋1的图象向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象的顶点为(3，－3)，得到的抛物线方程为y＝(x－3)2－3，即y＝x2＋bx＋c， ∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c， ∴b＝－6，c＝6. 二、一元二次函数解析