第一章 §4.4.3 一元二次不等式的应用（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

4．3　一元二次不等式的应用 学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题.3.了解与一元二次不等式有关的恒成立问题． 知识点　用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．选取合适的字母表示题中的未知数． 2．由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． 3．求解所列出的不等式(组)． 4．结合题目的实际意义确定答案． 1．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2} 答案　B 解析　∵x2＋mx＋1≥0的解集为R， ∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B. 2．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的函数关系是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围是________________． 答案　{t|10≤t≤15，t∈N} 解析　日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)， 依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500， 解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}． 3．一元二次不等式ax2－2x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－1) 解析　由题意得解得a<－1. 4．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________ 台． 答案　150 解析　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去)． 一、在实数集R上恒成立问题 例1　若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 解　要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0，满足题意； 若m≠0，⇒－4<m<0. 所以－4<m≤0. 反思感悟　一元二次不等式在R上恒成立问题 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 跟踪训练1　已知不等式mx2－2x＋m－2<0.若对于任意的实数x不等式恒成立，求m的取值范围． 解　当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有 解得m<1－，故m的取值范围是{m|m<1－}． 二、在给定区间上的恒成立问题 例2　若对于x∈[1,3]，不等式mx2－mx－1<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解　方法一　要使mx2－mx－1<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立， 就要使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 令y＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m>0时，函数值y在[1,3]上随x的增大而增大， ∴ymax＝7m－6<0，∴0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，函数值y在[1,3]上随x的增大而减小， ∴ymax＝m－6<0，得m<6，∴m<0. 综上所述，m<. 方法二　当x∈[1,3]时，mx2－mx－1<－m＋5恒成立， 即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＝2＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<. ∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可． 反思感悟　有关给定区间上的恒成立问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式． (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解． 跟踪训练2　当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－ax＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解　当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－ax＋1≥0恒成立， 即a≤恒成立，即a≤x＋恒成立， 即a≤min. ∵x∈(0，＋∞)，∴x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，min＝2，∴a≤2， ∴实数a的取值范围是(－∞，2]． 三、一元二次不等式的实际应用 例3　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试