第一章 微专题2 不等式恒成立、能成立问题（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

微专题2　不等式恒成立、能成立问题 不等式恒成立、能成立问题是一种常见题型，会以各种形式出现，其解法多变，具有一定的技巧性，解答这类题的关键是等价转化(如判别式法、分离参数法、数形结合法、主参换位法等)，通过转化使恒成立、能成立问题得到简化，而转化过程往往渗透着多种数学思想和方法的应用，能提升学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养． 一、判别式法 例1　(1)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围． 解　(1)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}． (2)①若a2－1＝0，即a＝±1时， 若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R； 若a＝－1，不等式变为2x－1<0，解集为， ∴a＝1时满足条件． ②若a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是解得－<a<1. 综上所述，当－<a≤1时，原不等式的解集为R. 反思感悟　当不等式ax2＋bx＋c>0(<0)未说明为一元二次不等式时，要先考虑二次项系数为0时的情况． 二、分离参数法 例2　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}． 反思感悟　通过分离参数可以将不等式恒成立、能成立问题转化为求一元二次函数最值问题或利用基本不等式求最值问题． 三、数形结合法 例3　(1)当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________． 答案　{m|m>－5} 解析　记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)一定有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5. (2)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围． 解　令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在[1,2]上恒成立． ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，得 ∴ ∴m的取值范围是{m|m<－5}． 反思感悟　一元二次不等式恒成立、能成立问题，有时可以利用二次函数的图象，结合相应的一元二次方程根的分布解决． 四、主参换位法 例4　若不等式mx2－mx－6＋m<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，求实数x的取值范围． 解　方法一　mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0， ∵1≤m≤3，∴x2－x＋1<(1≤m≤3)恒成立， ∴x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔<x<， ∴x的取值范围为. 方法二　mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0， 设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一次函数， ∵1≤m≤3，∴该函数的图象为一条线段， 要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立， 只需解得<x<， ∴x的取值范围为. 反思感悟　已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变元和参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． $$