第一章 再练一课(范围：§3～§4)（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

再练一课(范围：§3～§4) 1．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　) A．1＋ B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　＝＝x＋ ＝x－1＋＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立． 2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　) A．M >N B．M ≥N C．M<N D．M≤N 答案　A 解析　∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3) ＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0. ∴M >N. 3．(多选)已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题不正确的是(　　) A．如果a>b，那么> B．如果ac<bc，那么a<b C．如果a>b，那么< D．如果a>b，那么> 答案　ABC 解析　由不等式的性质可知，当c<0时，A，B均不正确；当a>0，b<0，C不正确；因为c≠0，所以c2>0，又a>b，所以>，D正确． 4．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　) A．3 B. C．4 D. 答案　C 解析　2＋2 ＝x2＋y2＋＋＋ ＝＋＋≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号． 5．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－2} B．{a|a≥－2} C．{a|－2≤a≤2} D．{a|a≥0} 答案　B 解析　当x＝0时，x2＋a|x|＋1＝1≥0成立． 当x≠0时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－恒成立． ∵|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时，等号成立)， ∴－≤－2.∴a≥－2. 6．一段长为40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________m2. 答案　100 解析　设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，∴矩形的面积S＝xy≤2＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是100 m2. 7．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 答案　3 解析　因为x>0，y>0，＋＝1， 所以＋≥2＝(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，即≤1，解得xy≤3， 所以xy的最大值为3. 8．当x>0时，不等式x2＋mx＋4>0恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案　(－4，＋∞) 解析　∵x>0，不等式x2＋mx＋4>0可化为－m<x＋，而当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，∴x＋的最小值为4. ∴－m<4，即m>－4，故实数m的取值范围是(－4，＋∞)． 9．已知关于x的不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解　(1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则解得 (2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. ①当c>2时，原不等式的解集为{x|2<x<c}； ②当c<2时，原不等式的解集为{x|c<x<2}； ③当c＝2时，原不等式无解． 综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，原不等式的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，原不等式的解集为∅. 10.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米． (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？ (2)当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 解　(1)设DN的长为x(x>0)米，则AN＝(x＋2)米， ∵DN∶AN＝DC∶AM，∴AM＝， ∴SAMPN＝AN·AM＝， 由SAMPN>32，得>32， 又x>0，得3x2－20x＋12>0， 解得0<x<或x>6， 即DN长的取值范围是. (2)矩形花坛AMPN的面积为 ＝3x＋＋12≥2＋12＝24， 当且仅当3x＝，即x＝2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24. 故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米． 11．设a，b∈R，a2＋b2＝k(k为常数)，且＋的最小值为1，则k的值为(　　) A．1 B．4 C．7 D．9 答案　C 解析　由题意得a2＋1＋b2＋1＝k＋2， ∴＋＝ ＝· ＝ ≥×(5＋4)＝＝1，当且仅当＝时，等号成立，∴k＝7. 12．已知a，b∈R，且a>b>0，a＋b＝1，则a2＋2b2的最小值为________，＋的最小值为________． 答案　　9 解析　因为a＋b＝