第7讲基本不等式及其应用-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册练习（简单）

基本不等式及其应用 一、单选题 1．若正实数、满足，则的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知，都是正数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．函数的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．10 二、填空题 4．已知正数，，则的最小值为_______ 5．已知一次函数图象与轴、轴分别交于点、，点在线段上，轴于点，轴于点，则矩形面积的最大值是_____________ ； 6．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ； 7．若关于的不等式在上恒成立,则的最大值是_________. 三、解答题 8．已知正数a，b满足a+3b=4. （1）求ab的最大值，且写出取得最大值时a，b的值； （2）求的最小值，且写出取得最小值时a，b的值. 9．迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值； 10．（1）设，求函数的最大值，并求取到最大值时x的值； （2）已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值. 参考答案 1．A 【解析】 【分析】 利用基本不等式化为即可． 【详解】 当，为正实数时，由， ，当且仅当等号成立， 的最大值为1． 故选: A． 【点睛】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”缺一不可，属于基础题． 2．B 【解析】 【分析】 由已知得，则，再利用基本不等式可求得答案. 【详解】 因为，所以，得， 所以， 当且仅当时即取等号，则的最小值. 故选：B. 【点睛】 本题考查了基本不等式求最值的问题，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】 由然后利用基本不等式可求得答案. 【详解】 因为，所以， 当且仅当即等号成立， 所以函数的最小值为10， 故选：D. 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于基础题. 4．24 【解析】 【分析】 根据题意，结合基本不等式得到，进而可求出结果. 【详解】 因为， 所以，因此， 当且仅当，即，时，取等号； 故答案为24 【点睛