第7讲基本不等式及其应用-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（中档，学生版+教师版）

基本不等式及其应用 知识定位 本讲义从以下两方面展开： 1. 利用基本不等式解决极值问题 基本不等式是高中一种常用的不等式，其第一大用处就是在于解决一些极值问题，这在高考与会考中是极其常见的。 2. 基本不等式相关的证明题 基本不等式的另一大用处就是在于通过基本不等式，我们可以导出其他的不等式。在高考中，有关不等式的证明往往要用到基本不等式。 知识诊断 1. （★★☆☆）求函数在时的最小值。 答案： 1. 由于，所以根据基本不等式，当时有： 当且仅当时等号成立， 故知当时，原函数在时有最小值 知识梳理 · 知识点一：基本不等式 二元基本不等式： 当 ，根据完全平方的展开式，有： ，从而我们得到二元的基本不等式： ，等号成立当且仅当 . 二元基本不等式是高中所学的第一个特殊的不等式，是很多不等式内容的基础。当然，需要注意的就是其等号成立的充要条件是 . n元基本不等式 对于n元的情况，我们也有类似的基本不等式： 当 ，我们有： ，等号成立当且仅当这n个数都相等。 该不等式的证明我们不作要求。 注意到，我们可以把上述不等式等价变形为： ， 我们一般将称为这n个数的算术平均值； 将称为这n个数的几何平均值。 所以，基本不等式就可以描述为算术平均值大于等于几何平均值。 常见题型和方法解析 1. 利用基本不等式解决极值问题 例1（★☆☆☆）） 已知，，，求证： （1） 如果是定值，那么当且仅当时，的值最小； （2） 如果是定值，那么当且仅当时，的值最大。 解： （1）因为，所以根据基本不等式： 故知：（当且仅当时取等号）， 这就是说如果是定值，那么当且仅当时，有最小值 （2） 同之前的论述易知： 故知：（当且仅当时取等号）， 这就是说如果是定值，那么当且仅当时，有最小值 教学提示：这当然是一道再简单不过的题目，但是却是利用不等式求解极值问题的一个基本结论。这也就是说，当我们遇到求某些数相加的最小值的时候，可以考虑这些数的乘积是否为定值；同样，当我们遇到求某些数的乘积的最大值的时候，可以考虑这些数的和是否为定值。当然要利用以上结论，要注意所谓的“一正”（是正数）；“二定”（的积或和为定值）；“三相等”（）。另外，本结论是根据二元的基本不等式得出的，那么跟三元甚至n元的基本（均值）不等式也可以得到相似结论。 例2 （★☆☆☆）求函数在时的最小值。 解：由于，所以根据基本不等式，当时有： 当且仅当时等号成立， 故知当时，原函数在时有最小值 教学提示：本是例1结论的一个简单应用。需要注意的是这里的条件是必须的，否则是无法使用基本不等式的。当然，可以从这道题顺便引申出去，让学生讨论当时（时的结论是平凡的）函数的单调性与及极值。 事实上，无论取值如何，该函数都是一个奇函数，因此我们只要研究其在时的性质即可。而当，该函数就是所谓的“耐克”（“双对勾”）函数，在时先递减后递增，最小值点为；当，容易知道该函数在时是单调递增的。 需要向学生强调，该函数在高考或者会考数学中是非常重要的一个函数，其图像、单调性、最值点是要能掌握得非常清楚明白的。 例3 （★★☆☆）求函数的最大值 解：，所以： 当且仅当，即时有 教学提示：本题是利用三元均值不等式来求解函数的最值问题的一个例子。需要注意的是，我们需要凑出三个数，使者三个数的和为定值，否则利用基本不等式之后无法将消去。另一方面在凑的系数的时候，两个的系数必须相同，否则基本不等式的等号是取不到的。比如，我们有： ， 但是该不等式中等号是无法取到的，因为等号成立要满足：，这样的显然是取不到的。因此再利用多元的基本（均值）不等式求函数极值的时候，必须要特别关注等号是否能取到的问题，不然很容易发生错误。 例4 （★★☆☆）已知正数满足，求的最小值。 解：， 当且仅当时等号成立，有最小值 教学提示：本题的关键在于利用基本不等式时要凑出乘积为定值。所以我们不能直接使用基本不等式，而是要将进行拆项。其次，需要注意的是，虽然对于这种二元的最小值问题，在很多时候都是取时为最小值，但是这不能成为做题的依据，显然在本题中取是错误的。最后，我们为了利用题目条件给出的定值，就不得不进行拆项，进而利用三元的基本不等式，在这时仍需注意例3中所说等号能不能取到的问题。因此，我们只能把拆成。 2. 基本不等式相关的证明题 例5（★★☆☆）已知，求证： 解：注意到，故，所以: 教学提示：在利用基本不等式时，很重要的一个技巧在于拆分，本题就是作了一个简单的拆分。拆分的目的实际上多半在于使得运用基本不等式之后不等号右边是一个常数。当然在之前已经强调过，如果是要求最值而进行拆分，那么拆分的时候要确保等号能够取到。当然，就本