第四章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第四章　对数运算与对数函数 §4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义. 2.能结合具体实际问题，建立恰当的函数模型. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a 时，其函数值的增长就越快. 当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a 时，其函数值的增长就越快. 当x>0，n>0时，幂函数y＝xn是增函数，并且当x>1时，n 其函数值的增长就越快. 由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”. 知识点　三种函数的增长趋势 越大 越小 越大 思考　在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，随着自变量x的增加，函数值增长最快的是哪个函数？ 答案　指数函数. 1.函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些.(　　) 2.当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax<xn<ax成立. (　　) 3.增长速度越来越快的一定是指数函数模型.(　　) 4.由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1).(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × × × × 2 题型探究 PART TWO 例1　(1)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的应该是 一、函数模型的增长差异 解析　由于指数型函数的增长是爆炸式增长， √ (2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是____. y2 解析　以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的. 从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化. 反思感悟 常见的函数模型及增长特点 (1)指数函数模型：y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的越来越快，即增长速度急剧，被形象的称为“指数爆炸”. (2)对数函数模型：y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的越来越慢，即增长速度平缓. (3)幂函数模型：y＝xc(c>0)的增长速度介于指数增长与对数增长之间. 跟踪训练1　已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝ f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是 A.a B.b C.c D.d √ 解析　根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数，当运动时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体. 例2　分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上函数的增长情况. 二、指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 解　方法一　指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时， Δx＝2，Δy＝23－21＝6； 对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2， 而Δy＝log23－log21＝1.585 0. 由此可知，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢. 方法二　(图象法)：在同一坐标系内作出y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增减变化情况.如图所示， 反思感悟 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法 (1)增量差异法：根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)图象法：判断指数函数、对数函数和幂函数增长快慢时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 跟踪训练2　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； 解　C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.