4.1～4.2 平方根-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

第四章 实数 4.1平方根 1.算数平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算数平方根.a的算数平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数. （2）非负数a的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a 本身是非负数． （3）规定：0的算数平方根是0. 典例： 的算术平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 答案：B 解析： ，求 的算数平方根，就是求2的算数平方根，所以 的算数平方根为 . 自我补充： 2.平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的平方根.正数a的平方根可以用 表示；正数a的负的平方根可以用符号“ ”表示，故正数a的平方根可以用符号“ ”表示，读作“正、负根号a”. （2）平方根的性质： ①正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算数平方根 ； ②因为 ，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0； ③任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根. 典例：已知2a-1的平方根是±3， 的算术平方根是b，求a+b的平方根. 答案： 解析：∵ 的平方根是±3，∴ ，∴ .∵ 的算术平方根是b，即16的算术平方根是b，∴b=4，∴ 方法总结：一个正数的平方根有2个，一个正数的算数平方根只有1个，并且符号为正. 自我补充： 3.平方根与算数平方根的区别与联系 算数平方根 平方根 区别 定义 如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算数平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的平方根 个数 正数的算数平方根只有1个 正数的平方根有2个 表示方法 正数 的算数平方根表示为 正数 的平方根表示为 取值范围 正数的算数平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负，互为相反数 联系 具有包含关系 平方根包含算数平方根，一个数的正的平方根就是它的算数平方根 相同点 （1）只有非负数才有平方根和算数平方根 （2）0的平方根与算术平方根均为0 典例：如果一个数的平方根是 与 ，那么这个数是多少？ 答案：49 解析：根据平方根的性质，得 ，解得 .∴ ， ，∴这个数是49 自我补充： 4.开平方 （1）定义：求一个数 的平方根的运算，叫做开平方，其中数 叫做被开方数. （2）平方运算与开平方运算的关系：求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算. 5.平方根的估算 要估算“ ”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如 ，所以 ；第二步以较小的整数为基础逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位，…，如此估算下去可按要求估算“ ”的近似值，即用“夹逼法”. 典例：24的负的平方根介于（ ） A.-5和-4之间 B.-4和-3之间 C.-2与-1之间 D.-3与-4之间 答案：A. 解析：24的负的平方根是 ，且 ，即 . 自我补充： 4.2立方根 1.立方根和开立方 （1）立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么x叫做a的立方根. （2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 2.立方根的表示方法 类似平方根，一个数 的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号 ”，其中 是被开方数，3是根指数， 中的根指数3不能省略 .算数平方根的符号 ，实际上省略了 中的根指数2，因此 也可读作“二次根号 ”. 典例：已知： ，求 的值． 答案：-3 解析：∵ ，∴ ，∴ . 自我补充： 3.立方根的性质 （1）正数的立方根是正数； （2）负数的立方根是负数； （3）0的立方根是0. 4.立方根和平方根的区别与联系 （1）联系： ①都与相应的乘方运算互为逆运算 ； ②0的立方根和平方根都是0. （2）区别： ①平方根“ ”中的2可以省略不写，而立方根“ ”中的3不能省略； ②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有； ③正数的平方根有2个，而正数的立方根只有1个； 典例：-27的立方根与 的平方根之和是（ ） A.0 B.-6 C.0或-6 D.6 答案：C 解析：∵ ，∴ .又∵ ，而 ，所∴ 的平方根是 ，∴它们的和为 或 ，即0或-6. 方法总结：牢记一个正数的平方根有两个，一个数的立方根只有1个. 自我补充： 当� EMBED Equation.KSEE3 ���时，� EMBED Equation.KS