4.3实数-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

4.3实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数叫做无理数 ． （2）无理数与有理数的区别： ①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4，0， 而无理数只能写成无限不循环小数，比如 ； ②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）无理数常见的三种类型： ①开不尽的方根，如 ， ， 等； ②特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）；③含有π的绝大部分数，如2π． （4）判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果 ． 典例：在 ，-2018， ，π这四个数中，无理数是（　　） A． B．-2018 C． D．π 答案：D 解析：常见的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 自我补充： 2.实数及其分类 （1）定义：有理数和无理数统称实数. （2）分类 ①按定义分类则有： ②按照大小分类如下： 3.实数与数轴的关系 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离； （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 典例：实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．|a|＞4 B．c-b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0 答案：B 解析：∵ ，∴ ，故A错误；又∵ ， ，∴ ，故B正确；又∵ ， ，∴ ，故C错误；又∵ ， ，∴ ，故D错误. 自我补充： 4.实数的性质 （1）实数的相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. （2）实数的绝对值： ①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. （3）实数的倒数：实数 的倒数为 （ ），若 与 互为倒数，则 ；若 ，则 与 互为倒数. 典例： 的算术平方根的相反数是_______， 的绝对值是_______， 的倒数是_______. 答案：-9 解析： ，81的算术平方根是9，9的相反数是-9； ，所以 的绝对值是 ； 的倒数是 . 方法总结：有理数扩充到实数后，其相反数、绝对值和倒数与有理数的反数、绝对值和倒数的意义是一样的. 自我补充： 5.非负数的性质的应用 （1）常见的三种负数形式 ①任意实数 的绝对值是非负数，即 . ②任意实数 的平方是非负数，即 （ ， 为正整数）. ③任意非负数 的算术平方根是非负数，即 ，且 . （2）非负数的性质： ①若两个非负数的和为0，那么这两个数一定都为0； ②非负数有最小值，最小值是0； ③有限个非负数的和为0. 典例：若 ，则 =________. 答案：5 解析：∵ ， ，且 ，∴ ， ，∴ ， ，∴ . 自我补充： 6.实数的运算 （1）实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方. （2）实数的运算顺序：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用. （3）比较实数大小的常见方法: ①数轴比较法：将两个有理数数画在数轴上，右边的总比左边的大. ②性质比较法：正数大于0，负数小于0. ③差值比较法：设a、b是两个有理数，则 ； ； . ④商值比较法：设a、b是两个有理数，则 ； ； . ⑤平方法：因为由 可得 ，所以我们可以把 与 的大小问题转化为比较 和 的大小问题.对于任意正实数有 . ⑥倒数法：对于符号相同的两个实数，还可以利用取倒数法来比较大小，即若 ，则 ；若 ，则 . 典例：比较3和 的大小 . 答案： 解析：∵ ， ， ，∴ . 方法总结：实数的大小比较方法较多，要牢记常见的几种形式，灵活运用. 自我补充： 知识拓展：无线小数包括无线循环小数和无线不循环小数，而无理数指的是无限不循环小数. 如� EMBED Equation.KSEE3 ���，它的值是4，因此它是有理数. 判断实数大小的方法有很多，如做差法、作商法、数轴法、估算法、平方法等. 比较整数与无理数的大小，一般都采用估算法进行比较. $$