7 一元二次方程-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

第七章 一元二次方程 7.1一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的定义 （1）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程必须同时满足的三个条件： ①方程的两边都是关于未知数的整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 .其中 是二次项 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项. 3.一元二次方程的根 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 典例：下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 答案：C 解析：A. 不是整式方程 ，故A错误； B. ，当 时，不是一元二次方程，故B错误；C. 是一元二次方程，故此C正确；D. ，是二元二次方程，故D错误． 方法总结：①“ ”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分.因为方程 只有当 时，才叫做一元二次方程；②任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化为一般形式；③二次项系数、一次项系数及常数项都是在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式. 7.2一元二次方程的解法 1.直接开平方法 （1）定义：如果 ，则 ，即 ，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法. 一般地，对于方程 ， ①当 时，方程有两个不等的实数根 ， . ②当 时，方程有两个相等的实数根 . ③当 时，因为对于任意实数 ，都有 ，所以方程无实数根. 典例：关于 的方程 （其中m≥0）的解为（　　） A． B． C． D． 答案：D 解析：移项，得 ；开方，得 ，解得 . 自我补充： 2.配方法 （1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. （2）依据：配方法的理论依据是完全平方公式 ，一般地，任何一个一元二次方程都可以利用完全平方公式转化为 的形式，当 时，就可以用直接开平方法求出方程的解. （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，即 ； ②二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数，即 ； ③配方：方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，把方程化为 ，其中 ， . ④直接用开平方法解变形后的方程. 典例：解方程： （用配方法）． 解：移项，得 ；二次项系数化为1，得 ；配方，得 ，即 ；直接开平方，得 ，所以 ， . 自我补充： 3.公式法 （1）定义：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，方程 的实数根可以写成 . 的形式，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.其中 被称作根的判别式. （2）一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： ①当 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，即 ， ； ②当 时，一元二次方程 有两个相等的实数根 ，即 . ③当 时，一元二次方程 无实数根. （3）利用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①将一元二次方程整理成一般形式； ②确定出公式中 、 、 的值； ③求出 的值； ④当 时，将 、 、 的值以及 的值代入公式即可；当 时，方程无实数根. 典例：用公式法解下列方程： （1） ；（2） . 解：（1）∵ ， ， ，∴ ，∴ ，∴ ， . （2）将方程化为一般形式，得 ，∴ ， ， ，∴ ，∴ . 自我补充： 4.因式分解法 （1）定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次使分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做一元二次方程. （2）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为0； ②将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ③令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 . 典例：用因式分解法解下面方程： （1） ； （2） . 解：（1） ，∴ ，即 或 ，所以 ， ； （2） ，∴ ，∴ 或 ，∴ ， ． 自我补充： 5.一元二次方程中根与系数的关系 当 时，一元二次方程 有两个实数根 ， ，且满足球根公式 ，则有： ， . 典例：关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ． （1）求 的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求k的值． 解：（1）∵一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ，解得： ，即k的取值范围为 ； （2）方程的两个实数根分别为 ， ，且 ， 又∵ ， ，∴ ，整理，得 ， 解得： ， （舍去） ，即 的值为3． 方法总结