8 整式的乘除与因式分解-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

第八章 整式的乘除与因式分解 8.1幂的运算法则 1.同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变指数相加.即 （ ， 都是正整数）. 典例：计算 的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：B 解析：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得 . 方法总结：当幂指数是1时不要误认为没有指数. 自我补充： 2.幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘.即 （ ， 都是正整数）. 典例： =________. 答案： . 解析： EMBED Equation.KSEE3 . 方法总结：不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆. 自我补充： 3.积的乘方 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （ 是正整数） . 典例：计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 答案：D 解析： . 方法总结：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即 （ 都是正整数）. 自我补充： 4.同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变指数相减，即 （ ， ， 都是正整数，并且 ）. 典例：计算 . 解：原式 . 自我补充： 5.零指数幂与负整数幂的意义 （1）零指数幂的意义：任何不等于零的零次幂都等于1，即 . （2）负整数指数幂的意义：任何不等于零的数的 （ 是正整数）次幂，等于这个数的 次幂的倒数，即 （ ， 为正整数）. 典例：计算： 解： . 自我补充： 8.2整式的乘法 1.单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 典例下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：C 解析：A. ，故A错误；A. ，故B错误；C． ，故C正确；D. ，故D错误. 方法总结：只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式，不要把这个因式漏掉. 自我补充： 2.单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 . 典例：已知 ，则 的值等于（　　） A．-1 B．0 C．1 D．无法确定 答案：C 解析：∵ ，∴原式 ． 方法总结：①计算时容易出现符号错误，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号；②单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，且项数与原多项式的项数相同，注意不要漏乘项. 自我补充： 3.多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即 . 典例：已知： ，则p，q的值分别为（　　） A．5，3 B．5，-3 C．-5，3 D．-5，-3 答案：D 解析： ，∵ ， ∴ ， . 方法总结：多项式的乘法法则是由多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的；两多项式相乘的结果仍为多项式；多项式中每一项均包括它前面的符号，计算时要小心 自我补充： 8.3乘法公式 1.平方差公式 （1）公式： . （2）公式特征： ①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数 ； ②右边是乘式中两项的平方差. 典例：计算： （1） ；（2）999×1001. 解：（1） ； （2） . 方法总结：平方差公式中的 、 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式. 自我补充： 2.完全平方公式 （1）公式： ； . （2）结构特征：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可简记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央”. 典例：已知 ， ，求下列各式的值． （1） ； （2） ． 解：（1）∵ ，∴ ，∴ .∵ ，∴ ； （2）∵ ，∴ ． 自我补充： 8.4因式分解 1.因式分解的概念 （1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式 ，这种变形叫做因式分解. （2）因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法都是整式变形，它们目标不同，过程相反，两者互为逆变形.因式分解是将“和差”化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式.如： 2.因式分解的方法 （1）提公因式法 ①定义：如果一个多项式的各项都含有公因数，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法. ②实质：提公因式法的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”. ③提公因式法分解因式的一般步骤：第一，确定公因式；第二，把公因式的各项写成含公因式的乘积形式；第三，把公因式提到括号前面，余下的项写在括号内. （2）公式法 ①平方