9 分式与分式方程-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

第九章 分式与分式方程 9.1分式 1.分式的概念 （1）定义：一般地，用 、 表示两个整式，可以表示成 的形式.如果B中含有字母，那么称 为分式，其中 称为分式的分子， 称为分式的分母.对于任意一个分式，分母都不能为零. （2）判断一个代数式是否为分式的三个条件： ① 的形式； ② 和 都是整式； ③ 中含有字母 . 典例：下列代数式是分式的是（　　） A． B． C． D． 答案：D 解析：A． 是多项式，不符合题意；B． 是单项式，不符合题意；C． 是多项式 ，不符合题意；D． 是分式，符合题意. 方法总结：除了形式上是分式外，分式的分母必须含有字母，且分子分母都是整式. 自我补充： 2.与分式有关的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零. （2）分式无意义的条件是分母等于零. （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号. （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号. （5）分式的值为零的条件是分子为零，且分母不为零. 典例：若分式 的值为0，则 的值为（　　） A．3 B．-3 C．3或-3 D．0 答案：A 解析：由分式的值为零的条件得 ，且 ，解得 方法总结：在分式计算中一定不要忽略分母不为0这一条件，分式方程必须验根． 自我补充： 3.分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.这一性质可以用字母表示为 ， （ ）. （2）约分 ①定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. ②约分的步骤：当分式的分子与分母都是单项式时，可直接约分，约分前后分式的值相等；当分式的分子与分母是多项式时，应先进行因式分解，再进行约分；约分的结果应是分子和分母没有公因式. （3）最简分式：当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式.化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式. （4）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. （5）最简公分母 ①定义：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母. ②确定分式的最简公分母的步骤：取各分式的分母中系数最小的公倍数；各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到；相同字母（或因式）的幂取指数最大的；所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母. 典例：通分 ： （1） ， ； （2） ， 解：（1）∵最简公分母为 ，∴ ， ； （2）∵最简公分母为 ，∴ ， . 方法总结：通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是寻求几个分式的最简公分母；通分一般要伴随着对分母的因式分解；若分母的系数不是整数，就要根据分式的基本性质，把它化为整式. 自我补充： 9.2分式的运算 1.分式的乘除 （1）分式的乘法法则：:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.这一法则用式子表示为 . （2）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒后再与被除式相乘.这一法则可以用式子表示为 . 典例：计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 答案：C 解析： . 方法总结：分式的乘除法是同级运算，当分式中含有乘法和除法两种运算时要按顺序从左到右依次计算. 自我补充: 2.分式的加减 （1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示为 . （2）异分母分式加减法的法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用式子表示为 . 典例：化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 答案：A 解析：原式 . 方法总结：分式的运算与分数的运算一样，一是注意符号，二是结果必须化到最简. 3.分式的乘方 分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.这一法则可以用式子表示为 （ 是正整数， ）. 典例：计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 答案：A 解析：原式 . 方法总结：分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同，正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数. 自我补充： 4.分式的混合运算 分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的. 典例：计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 答案：B 解析：原式 . 自我补充： 9.3分式方程 1.分式方程 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 . （2）分式方程的解法： ①去分母，即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化