10 二次根式-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

第十章 二次根式 10.1二次根式 1.二次根式的概念 （1）定义：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号 . （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0. 典例：如果 ，那么 的值为（　　） A．1 B．-1 C．±1 D．0 答案：A 解析：∵ ，∴1-x≥0，x-1≥0，解得：x=1，故y=2，则 ． 方法总结：二次根式 中，被开方数 可以是一个具体的数，也可以是代数式；因为 表示非负数 的算数平方根，所以 . 自我补充： 2.二次根式的性质 （1） 中 ， ，即一个非负数的算数平方根是一个非负数. （2） ，即一个非负数的算数平方根等于它本身. （3） 即一个数的平方的算数平方根等于它的绝对值. 3. 与 的区别与联系 （1）区别： ①取值范围不同， 中 为全体实数， 中 ； ②运算顺序不同， 先平方再开方， 先开方再平方； ③运算结果不同， EMBED Equation.KSEE3 . （2）联系： 与 均为非负数，且当 时， . 典例：已知 为实数，那么 等于（ ） A. B. C. D.0 答案：D 解析：∵ ，∴ ，∴ . 方法总结：根号下的式子或数一定是大于等于0的. 自我补充： 10.2二次根式的乘除 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则： . 即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. （2）二次根式乘法法则的逆用：把 ，就得到 . 典例：化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 方法总结：在不能确定根号下的符号时不能将根号里面的数拆开，例如 有意义，但计算时不能写成 . 自我补充： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则： （ ， ）. 即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. （2）二次根式除法法则的逆用：把 反过来，就得到 （ ， ）. （3）分母有理化 ①定义：在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式.把分母中的根号化去的过程称为分母的有理化. ②分母有理化的具体做法： （ ， ）；也可以通过类似分式中的“约分”进行分母的有理化，如 （ ）. 典例：已知： ，且 是偶数，求：代数式 的值． 解：由 ，可得 解得 .又因为 是偶数，所以 ， 所以 . 方法总结：二次根式中，分母有理化常见的方法是给根式乘“ ”，例如 . 自我补充： 3.最简二次根式 （1）定义：满足被开方数是整数，因式是整式且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. （2）二次根式化简的步骤： ①把带分数或小数化成假分数； ②把被开方数分解成质因数或分解因式； ③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外； ④划去根号内的分母，或者划去分母中的根号； ⑤约分. 典例：把下列二次根式化成最简二次根式： （1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 自我补充： 10.3二次根式的加减 1.二次根式的加减 （1）二次根式的加减法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式. （2）二次根式的加减法步骤： ①化成最简二次根式； ②找出被开方数相同的二次根式； ③合并被开方数相同的二次根式. 典例：计算： ⎷ 解： ⎷ . 自我补充： 2.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算法则：二次根式的混合运算顺序和整式的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除、最后加减，有括号的要先算括号里面的. 典例：计算 的结果是（　　） A． B． C． D．1 解析：原式 . 答案：A 方法总结：在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式. 自我补充： 注意：（1）二次根式必须要有二次根号；（2）二次根式中� EMBED Equation.KSEE3 ���是定义的一部分，不能省略. 在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式、分式有意义的综合应用. 两者的结果都是非负数，结果的取值范围也相同 注意：当� EMBED Equation.KSEE3 ���，� EMBED Equation.KSEE3 ���时拆开的根式才有意义，法则才能成立. 此处� EMBED Equation.KSEE3 ���，� EMBED Equation.KSEE3 ���各自的符号虽然不能确定，但� EMBED Equation.KSEE3 ���一定大于0，因此可以将� EMBED Equation.KSEE3 ���与� EMBED Equation.KSEE3 ���拆开. 要注意� EMBED Equa