12.2 一次函数-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

12.2一次函数 1.正比例函数 （1）定义：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数叫做正比例函数，其中 叫做比例系数. （2）正比例函数的图象及性质：正比例函数 （ 是常数， ）是一条经过原点与点（1，k）的直线，其图象和性质如下表. 图象 性质 ①直线经过第一、第三象限； ②y随x的增大而增大 ①直线经过第二、第四象限； ②y随x的增大而减小 ③自变量x的取值范围是全体实数； ④正比例函数 中 越大，直线越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大； 越小，直线越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小 典例：若函数 （ 为常数）是正比例函数 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 答案：D 解析：根据正比例函数的定义，得 解得 即 . 自我补充： 2.一次函数的相关概念 （1）定义：一般地，形如 （k，b是常数， ）的函数，叫做一次函数. 如 ， 等都是一次函数. 特别地，当 时， 变为 ，这时y就变成了x的正比例函数.因此，正比例函数是一次函数的一种特例. （2）正比例函数与一次函数之间的关系： ①正比例函数是特殊的一次函数，即一次函数包含正比例函数； ②一次函数不一定是正比例函数，在一次函数 （k，b是常数， ）中，只有当 ，时一次函数才是正比例函数. 典例：下列式子中是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 解析：A. 是正比例函数也是一次函数，故A正确；B. 右边不是整式，故B错误；C. 次数不是1，故C错误；D. 左边y的次数不是1，故D错误． 答案：A 方法总结：一次函数的表达式 是一个等式，其左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；自变量与因变量的次数为1，且系数 . 自我补充： 3.一次函数的图象与性质 （1）性质：一次函数 （k，b是常数， ），当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小. （2）直线 的位置与k，b符号之间的关系：直线 的位置是由k和b的符号决定的，其中k决定直线从左至右呈上升趋势还是下降趋势(共两种情况)；b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴上、在y轴的负半轴上，还是在原点(共三种情况).k与b综合起来即可决定直线 在平面直角坐标系中的位置，详见下表. 图象 性质 图象经过一、二、三象限 图象经过一、三、四象限 图象经过一、三象限 图象经过一、二、四象限 图象经过二、三、四象限 图象经过二、四象限 y随x的的增大而增大 y随x的的增大而减小 自变量x的取值范围是全体实数 典例1：对于一次函数 ，y随x的增大而增大，k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：∵对于函数 ，y随x的增大而增大，∴ ，即 . 答案：D 方法总结：在一次函数 中，k值控制函数的增减，且当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的的增大而减小. 典例2：已知一次函数 的图象如图所示，则m、n的取值范围（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 答案：B 解析：∵函数图象过二、四象限，∴y随x的增大而减小，∴比例系数 .∵函数图像与y轴交于正半轴，∴常数项 . 方法总结：在一次函数 中，b值控制函数与y轴的交点，当 时，函数图像与y轴正半轴相交；当 时，函数图像与y轴负半轴相交. 自我补充： 4.一次函数的图象的画法 由于两点确定一条直线，所以在画一次函数图象时，只要知道函数上的任意两点，就能画出这个函数的图象，通常我们选取直线 与两坐标轴的交点，即（0，b）与（ ，0）. 典例：已知一次函数 ，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象； （2）根据图象回答：当x______时， ． 答案：（1）如图所示 （2） 解：（1）∵当 时 ，∴函数 的图象与y轴的交点坐标为（0，4）. ∵当 时， ，解得 ，∴函数 的图象与x轴的交点坐标（2，0）．画函数图象如图所示； （2）由图象可得，当x＜1时，y＞2 ． 自我补充： 5.一次函数解析式的确定 （1）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法. （2）用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式，即 （k，b是常数， ）； ②把已知条件（自变量与对应的函数值）代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值； ④将求出待定系数的值代回所设的函数解析式，即得出所求的函数解析式. 典例：已知 与（ ）成正比例，当