12.3～12.4 一次函数与方程（组）及不等式之间的关系-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

12.3一次函数与方程（组）及不等式之间的关系 1.一次函数与一元一次方程 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为 （ ）的形式，所以解一元一次方程就相当于在解某个一次函数 的函数值为0时，求自变量x的值.因此，直线 （ ）与x轴交点的横坐标就是一元一次方程 （ ）的解. 典例：如图，直线 （ ）过点A（0，4），B（-3，0），则方程 的解是（　　） A． B． C． D． 答案：A 解：方程 的解，即为函数 图象与 轴交点的横坐标，∵直线 过B（-3，0），∴方程ax+b=0的解是 . 方法总结：在解一元一次方程时，可以将方程转化为直线，从图象上分析方程的解的情况. 自我补充： 2.一次函数与一元一次不等式 因为任何一个以 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 或 （ ）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数 的值大于（小于）0时，求自变量 的取值范围.因此，一次函数 （ ）与一元一次不等式 （或 ）的关系如下： ①从“数”上看： 的解集 EMBED Equation.KSEE3 中， 时 的取值范围； 的解集 EMBED Equation.KSEE3 中， 时 的取值范围. ②从“形”上看： 的解集 图象位于 轴上方的部分对应的横坐标的值； 解集 图象位于 轴下方 的部分对应的横坐标的值. 典例：如图，已知一次函数 的图象与 轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于 的方程 的解为 ；②关于 的方程 的解为 ；③当 时， ；④当 时， ．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 答案：A 解析：由图象得：①关于 的方程 的解为 ，故①正确；②关于 的方程 的解为 ，故②正确；③当 时， ，故③正确；④当 时， ，故④错误.故选A. 方法总结：将一元一次不等式转化为一次函数图象能够清晰、简洁地观察自变量与因变量的取值变化情况. 自我补充： 3.一次函数与二元一次方程（组）的关系 （1）一次函数 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的解，所以二元一次方程 的解为坐标的点都在一次函数 的图象上. （2）①从“数”的角度看：解方程组 求自变量为何值时函数相等，即直线 （ ， ）与 （ ， ）的交点坐标就是方程组 的解 . ②从“形”的角度看：方程组的解 两直线交点的坐标.特殊情况下，方程组无解 两直线平行，方程组有无数组解 两直线重合. 典例：如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点P（1， ）． （1）求 和 的值； （2）结合图象，直接写出当 时 的取值范围． 解：（1）对于直线 ，当 时， ，∴P（1，3）， ，把P（1，3）代入 中，得到 ，解得 ； （2）观察图象可知，当 时 的取值范围 ＞1． 方法总结：两条直线有交点的情况下，两条直线的交点坐标分别满足两个直线. 自我补充： 12.4根据实际问题列一元一次函数关系式 1.一次函数的应用 （1）分段函数问题：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要根据实际问题具体分析每段函数所表达的意义，在同一个一次函数图象中横、纵坐标所表示的意义是不变的． （2）函数的多变量问题：解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 典例1：某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口.储存罐内的水泥量 （立方米）与时间 （分）之间的部分函数图象如图所示． （1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量． （2）求第5分钟时，储水罐里有多少立方米的水． 解：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5立方米； （2）设 （ ），把（3，15）（5.5，25）代入函数关系式中，得 解得 ∴当 时 ， 与 之间的函数关系式为 ，∴当 时， ，∴第5分钟时，储水罐里有23立方米的水. 典例2：某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设 （件）是销售商品的数量， （元）是销售人员的月工资．如图所示， 为方案一的函数图象， 为方案二的函数图象．已知每件商品的销售提成方案二比方案一少8元．从图中信息解答如下问题： （注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用） （1）求 的函数解析式； （2）请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ （3）小丽应选择哪种销售方案，才能使月工资更多？ 解：（1）设 所表示的函数关系式为 ，由图象，得 ，解得 ，∴ 所表示的函数关系式为 ；