13 反比例函数-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

第十三章 反比例函数 13.1反比例函数 1.反比例函数的有关概念 （1）反比例函数的概念：形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数 ．其中 是自变量， 是函数，自变量 的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数 需注意以下几点： ①反比例比函数的表达式中，等号左边是函数值 ，等号右边是关于自变量 的分式，分子是不为0的常数 ，分母不能是多项式，只能是 的一次单项式，形如 这样的式子不是反比例函数； ②反比例函数表达式 中，常数 ； ③反比例函数 （ ）的自变量 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值 的取值范围也是非零实数. ④反比例函数的表达式 （ ）也可以写成 或 的形式. 典例：下列函数中，哪些表示 是 的反比例函数： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 解：（1） 不是反比例函数； （2）∵ ，∴ ，∴ ，是反比例函数； （3）∵ ，∴ ，是反比例函数； （4）∵ ，∴ ，不是反比例函数； （5）∵ ，∴ ，∴ ，不是反比例函数． （6）∵ ，∴ ，∴ ，是反比例函数． 方法总结：要判断一个函数是否是反比例函数，先将各函数关系式变形，凡形式上符合 （ ）的，则是反比例函数． 自我补充： 2.反比例函数的图象与性质 （1）反比例函数的图象：反比例函数 的图象是由两条曲线组成，它是双曲线 .这两条曲线分别位于第一、三象限（ 时）或第二、四象限（ 时），如图，因为反比例函数中自变量 ，所以它们的图象与 轴和 轴没有交点，即双曲线的两支都无线地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交. （2）反比例函数的性质： ①当 时，反比例函数 的图象在第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小； ②当 时，反比例函数 的图象在第二、四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大 . （3）反比例函数 中比例系数 的几何意义：如图所示，过双曲线上任一点 ( ， )分别作 轴、 轴的垂线 ， ，所得的矩形 的面积 ，若连接图中的 ， ，则 ，即过双曲线上任意一点做一条坐标轴的垂线，连接这个点与原点，所得三角形的面积为 . （4）反比例函数图象的画法 ①列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取3对或三对以上的数，求出 值； ②描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中作出对应的点； ③连线：用平滑的曲线顺次把这些点连起来并延伸. 典例1：反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小 ，那么 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 答案：B 解析：∵反比例函数 ，当 时， 随 增大而减小，∴ ，解得 ． 典例2：如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点．已知反比例函数 （ ）的图象经过点 （2， ），过点 作 ⊥ 轴于点 ，且△ 的面积为5 ． （1）求 和 的值； （2）当 时，求函数值 的取值范围． 解：（1）∵ （2， ），∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴点 的坐标为（2，5），把 （2，5）代入 ，得 ； （2）∵当 时， ，又∵反比例函数 在 时， 随 的增大而减小， ∴当 时， 的取值范围为 . 自我补充： 3.反比例函数解析式的确定 反比例函数 （ ）中，只有一个待定系数 ，所以只要给出一组 ， 的值或图象上一点的坐标，代入 中即可求出 值，从而确定反比例函数的解析式，另外，反比例函数 （ ）也可以变形为 （ ），所以只要求出任意一点的横、纵坐标之积，即可确定反比例函数表达式. 典例：如图所示的反比例函数图象经过点 （2，5）. （1）求该反比例函数的解析式； （2）过点 作 ⊥ 轴，垂足为 ，在直线 右侧的反比例函数图象上取一点C，若△ 的面积为20，求点 的坐标 ． 解：（1）设反比例函数的解析式为 ，且过 （2，5）,∴ ，∴反比例函数的解析式为 . （2）设点 （ ， ）∵△ 的面积为20，∴ ，∴ ， ∴点 （10，1）. 方法总结：在求一个反比例函数的解析式时，只要解出 的值即可. 自我补充： 13.2实际问题与反比例函数 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤： （1）审清题意，找出题目中的常量、变量、并理清常量与变量之间的关系； （2）根据常量与变量之间的关系，设出函数关系式，待定的字母用系数表示； （3）由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写出函数关系式，同时确定自变量的取值范围； （5）运用反比例函数的图象和性质，解决实际问题. 典例：在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 （天）与每天完成工程量 米的函数关系图象如图所示，是双曲线 的一部分． （1）请根据题意，求 与 之间的函数表达式； （2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ （3）如果为了防汛