14.1 二次函数的相关概念-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

第十四章 二次函数 14.1二次函数的相关概念 1.二次函数的定义 （1）定义：一般地，形如 （ ， ， 是常数， ）的函数，叫做二次函数 ，其中， 是自变量， ， ， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数. （2）判定一个函数是不是二次函数的方法： ①任何一个二次函数的解析式都能通过适当的变形转化为 （ ， ， 是常数， ）的形式； ②自变量的最高次数次数必须是2，即 中， ，而 ， 可以为0； ③含自变量的代数式是整式，而不是分式或根式. 典例：下列函数中，一定是二次函数是（　　） A. B. C. D. 答案：B 解析：A.当 时，二次项系数等于0，不是二次函数，故A错误；B. 是二次函数，故B正确；C. 是一次函数，故C错误；D. 中，含自变量的代数式不是整式，故不是二次函数，故D错误. 方法总结：判断一个函数是不是二次函数时，先把这个函数化为二次函数的一般式（即 ），看它是否满足二次函数的定义条件. 自我补充： 2.二次函数的图象与性质 （1）二次函数图象的相关概念 ①图象：二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线. ②一般式： （ ） ③顶点式： （ ） ③开口方向与开口大小：在一般式 （ ）和顶点式 （ ）中 时，函数开口向上； 时，开口向下. 的值越大开口越大. ④顶点坐标：因为二次函数是一条抛物线，所以它在 轴方向上一定存在最高点（ 时）或最低点（ 时），这个最高点或最低点的坐标就是这个函数的顶点坐标.顶点坐标一定在这个函数的对称轴上. （2）二次函数 （ ）的图象和性质： 函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 （ 轴） 顶点 （0,0） 增减性 在对称轴的左侧，即 时． 随 的增大而减小；在对称轴的右侧，即 时， 随 的增大而增大 在对称轴的左侧，即 时． 随 的增大而增大；在对称轴的右侧，即 时， 随 的增大而减小 最值 当 时， =0 当 时， =0 （3）二次函数 （ ） 的图象和性质： 函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 （或 轴） 顶点 （0， ） 增减性 在对称轴的左侧，即 时． 随 的增大而减小；在对称轴的右侧，即 时， 随 的增大而增大 在对称轴的左侧，即 时． 随 的增大而增大；在对称轴的右侧，即 时， 随 的增大而减小 最值 当 时， = 当 时， = （4）二次函数 （ ）的图象和性质： 函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 （ ， ） 增减性 当 时， 随 的增大而减小； 当 时， 随 的增大而增大 当 时， 随 的增大而增大； 当 时， 随 的增大而减小； 最值 当 时， 有最小值， 当 时， 有最大值， （5）二次函数 （ ）的图象和性质： 函数 图象 顶点坐标 （ ，0） 对称轴 直线 顶点位置 当 时，顶点在 轴的右侧；当 时，顶点在 轴的左侧 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴左侧， 随 的增大而减小；在对称轴右侧， 随 的增大而增大 在对称轴左侧， 随 的增大而增大；在对称轴右侧， 随 的增大而减小 最值 当 时， 有最小值， 当 时， 有最大值， （6）二次函数 （ ）的图象及性质： 函数 >0 <0 图象 顶点坐标 （ ， ） 顶点位置 当 >0， >0时，顶点在第一象限；当 <0， >0时，顶点在第二象限；当 <0， <0时，顶点在第三象限；当 >0， <0时，顶点在第四象限 对称轴 直线 = 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴左侧， 随 的增大而减小；在对称轴右侧， 随 的增大而增大 在对称轴左侧， 随 的增大而增大；在对称轴右侧， 随 的增大而减小 最值 当 = 时， 有最小值， = 当 = 时， 有最大值， = 典例1：已知函数 ，下列结论正确的是（　　） A．当 时， 随 的增大而减小 B．当 时， 随 的增大而增大 C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而增大 答案：C 解析：函数 ，对称轴为直线 ，开口方向上，故当 时， 随 的增大而减小． 方法总结：形如 （ ）这样的二次函数，叫做顶点式，在判断其函数图象的性质时，应先根据 的值确定其开口方向，根据 的值确定其对称轴，再根据 , 的值确定函数的顶点坐标，根据这三个条件画出这个函数的大致图象，就能判断他的增减性. 典例2：已知二次函数 的图象如图所示，下列结论中正确的个数有（