14.2 二次函数与一元二次方程（组）及不等式之间的关系-初中数学知识清单（初中全阶段）【涂考点】

14.2二次函数与一元二次方程（组）及不等式之间的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 （ ），当 的值为0时，就得到一元二次方程 （ ），即求方程 的解，就是求二次函数 与 轴交点的横坐标.对于方程 的解有以下3种情况： （1）抛物线与 轴有两个交点⇔ ⇔方程 有两个不相等的实数根（ ， ）. （2）抛物线与 轴有一个交点⇔ ⇔方程 有两个相等的实数根. （3）抛物线与 轴无交点⇔ ⇔方程 无实数根. 典例：已知二次函数 的图象与 轴的一个交点为（1，0），则关于 的方程 的两实数根分别是（　　） A．1和-1 B．1和-2 C．1和2 D．1和3 答案：B 解析：∵ ，∴ = ，即二次函数图象的对称轴是直线 ，设二次函数 的图象与 轴的另一个交点的横坐标是 ，∵二次函数 的图象与 轴的一个交点为（1，0），∴ ，解得 ，∴关于 的方程 的两实数根分别是1和-2. 方法总结：从图象上看，二次函数 与 轴的交点即是一元二次方程 的解. 自我补充： 2.二次函数与一元二次不等式的关系 （1） 的解集可以看做是函数 的图象位于 轴上方对应的点的横坐标的取值范围. （2） 的解集可以看做是函数 的图象位于 轴下方对应的点的横坐标的取值范围． 典例：如图，过点（0，1）且平行于x轴的直线与二次函数 （ ）图象的交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式 的解集为（　　） A． B． C． 或 D． 答案：C 解析：根据图象得二次函数 （ ）的图象与直线 交点坐标为（1，1），（3，1），而 ，即 ，故 或 ． 方法总结：一元二次不等式可以从二次函数的图象上得出解的情况，在解决与二次函数有关为问题中可以多运用数形结合的解题方法. 自我补充： 14.3根据实际问题列二次函数关系式 1.二次函数的应用 （1）利用二次函数求最大面积的方法： ①求几何图形的最大面积，应先在分析图形的基础上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根据函数关系式求出最值及取得最值时相应的自变量的值． ②在求解几何图形的最大面积时，还应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围. （2）利用二次函数求最大利润的方法：利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面．此类问题一般是先运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品所获利润 销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式，求出这个函数关系式的最大值，即求得最大利润. （3）利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的方法： 在实际生活中，有许多问题（如卫星轨道、桥洞等），都可以通过构建二次函数解析式来解决．解决这类问题要利用数形结合思想和函数思想，合理建立直角坐标系，然后设出适当的函数解析式，由已知点所在的位置，利用待定系数法求出字母参数的值，从而得出解析式，再由二次函数的性质去分析解决问题．建立直角坐标系是解决这类问题的关键． 典例1：某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案： 方案甲中 的长不超过墙长；方案乙中 的长大于墙长． （1）若 ． ①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则 的长是多少米？ ②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少 ？ （2）若 ，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由． 解：（1）①设 的长是 米，则 ，根据题意，得 ， 解得 ， .当 时， ，不符合题意（舍去），∴ ， ∴ ，即 的长是5米. ②设 的长是 米，矩形花圃的最大面积是 平分米，则 ，根据题意，得 . ∴按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是 平方米. （2）按图甲的方案，设 米，能围成的矩形花圃的面积为 平方米， ∴ ，当 时， （不符合题意），舍去.∴第二种方案能围成面积最大的矩形花圃． 典例2：某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件．公司规定：售价不超过70元． （1）若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元？ （2）若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元？ 解（1）：设这次销售中，售价提高 元，获得利润为 元，依题意，得 ，整理，得 .令 ,得 10800，整理，得 ，解得 ， .∵售价不超过70元，∴ 不合题意 ，舍去，∴此时售价为：60+8=68元，∴这批产品的售价每件应提高8元． （2）由题（1）得 ，函数图象开口向下，对称轴为 ，当 时，售价为 ，∴