3.2.1 函数的单调性-2020-2021学年高一数学卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）

　3．2.1 函数的单调性 一、知识点归纳 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． (3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 二、题型分析 题型一 　用定义法证明(判断)函数的单调性 【例1】已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． 【规律方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________　　 【变式1】试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数． 题型二 求函数的单调区间 【例2】已知f(x)＝ (1)画出这个函数的图象； (2)求函数的单调区间． 【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________　　【变式2】． 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 题型三　函数单调性的应用 【例3】　(1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不单调，则实数a的取值范围为________． 【规律方法总结】 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________　　 【变式3】已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． 三、课堂达标检测 1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上没有单调性 2．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　) A．b＝3　　　　 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3 3.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1　　　　　　 　B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 4.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　) A．[－4,4]　　　　　 　B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 5．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　) A．y＝－ B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x 6．函数y＝(x＋4)2的递减区间是(　　) A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 7．证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数． 8.利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．